12.7 Analyse des m´ ethodes de diff´ erences finies
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o` u les αk sont des coefficients donn´ es. En appliquant le sch´ ema (12.34), on trouve :
u
0
j = u0(xj) =
N
2
−1
k=− N
2
αke
ikjh , u
n
j =
N
2
−1
k=− N
2
αkγ
n
k e
ikjh .
On remarque que
n
2
∆,2 = h
N −1
j=0
N
2
−1
k,m=− N
2
αkαm(γkγ m )
n e
i(k−m)jh .
Avec le Lemme 9.1, on a
h
N −1
j=0
e
i(k−m)jh = 2πδkm, −
N
2
≤ k, m ≤
N
2
− 1,
ce qui implique
n
2
∆,2 = 2π
N
2
−1
k=− N
2
|αk|
2 |γk|
2n .
Par cons´ equent, comme |γk| ≤ 1 ∀k,
n
2
∆,2 ≤ 2π
N
2 −1
k=− N
2
|αk|
2 = u
0
2
∆,2
∀n ≥ 0,
ce qui montre que le sch´ ema est stable dans la norme · ·∆,2.
3
Pour le sch´ ema d´ ecentr´ e (12.39), on trouve, en proc´ edant comme pour le
sch´ ema centr´ e, les coefficients d’amplification suivants (voir Exercice 6)
γ k =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 − a
∆t
h
(1 − e
−ikh ) si a > 0,
1 − a
∆t
h
(e
−ikh
− 1) si a < 0.
Donc
∀k, |γ k | ≤ 1 si ∆t ≤
h
|a|
,
qui n’est autre que la condition de CFL.
D’apr` es le th´ eor` eme 12.1, si la condition de CFL est satisfaite, le sch´ ema
d´ ecentr´ e est stable dans la norme · · ∆,2 .
Pour conclure, remarquons que le sch´ ema d´ ecentr´ e (12.48) v´ erifie
u
n+1
j
= (1 − λa)u
n
j + λau
n
j−1 .
D’apr` es (12.46), ou bien λa ou bien 1 − λa est positif, donc
min(u
n
j , u
n
j−1 ) ≤ u
n+1
j
≤ max(u
n
j , u
n
j−1 ).