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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
En posant
γ k = 1 −
a∆t
h
i sin(kh),
on trouve par r´ ecurrence sur n :
u
n
j =
∞
k=−∞
α k e
ikjh γ
n
k , j = 0, ±1, ±2, . . ., n ≥ 1.
(12.50)
Le nombre γ k ∈ C est appel´ e coefficient d’amplification de la k-` eme fr´ equence
(ou harmonique). Comme
|γ k | =
1 +
a∆t
h
sin(kh)
2
1
2
,
on en d´ eduit que
|γ k | > 1 si a = 0 et k =
mπ
h
,
m = 0, ±1, ±2, . . ..
Par cons´ equent, la valeur nodale |u
n
j | ne cesse de croˆ ıtre quand n → ∞ et la
solution num´ erique “explose” tandis que la solution exacte v´ erifie
|u(x, t)| = |u 0 (x − at)| ≤ max
s∈R
|u 0 (s)| ∀x ∈ R, ∀t > 0.
Le sch´ ema centr´ e (12.35) est donc inconditionnellement instable, c’est-` a-dire
instable quel que soit le choix des param` etres ∆t et ∆x.
Cette analyse, bas´ ee sur les s´ eries de Fourier, est appel´ ee analyse de von
Neumann. On l’utilise pour ´ etudier non seulement la stabilit´ e d’un sch´ ema
num´ erique en norme · · ∆,2 mais aussi ses propri´ et´ es de dissipation et de
dispersion.
Tout sch´ ema aux diff´ erences finies explicite pour le probl` eme (12.26) satisfait une relation de r´ ecurrence analogue `
a (12.50), o` u γ k d´ epend a priori
de ∆t et h et est appel´ e k-` eme coefficient d’amplification du sch´ ema.
Th´ eor` eme 12.1 Si on choisit ∆t et h tels que |γ k | ≤ 1 ∀k, alors le sch´ ema
num´ erique est stable dans la norme · · ∆,2 .
D´ emonstration. Pour simplifier, on se restreint au cas o` u u0 est une fonction
2π-p´ eriodique. On prend N noeuds ´ equir´ epartis sur [0, 2π[ (avec N pair) :
xj = jh, j = 0, . . . , N − 1, avec h =
2π
N
,
Les donn´ ees initiales sont alors {u0(xj), j = 0, . . . , N − 1}. Ceci revient `
a remplacer dans le sch´ ema num´ erique u0 par son interpolation trigonom´ etrique, not´ ee ˜
u0,
d’ordre N/2 aux noeuds {xj}. Ainsi,
˜
u0(x) =
N
2
−1
k=− N
2
αke
ikx ,
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
En posant
γ k = 1 −
a∆t
h
i sin(kh),
on trouve par r´ ecurrence sur n :
u
n
j =
∞
k=−∞
α k e
ikjh γ
n
k , j = 0, ±1, ±2, . . ., n ≥ 1.
(12.50)
Le nombre γ k ∈ C est appel´ e coefficient d’amplification de la k-` eme fr´ equence
(ou harmonique). Comme
|γ k | =
1 +
a∆t
h
sin(kh)
2
1
2
,
on en d´ eduit que
|γ k | > 1 si a = 0 et k =
mπ
h
,
m = 0, ±1, ±2, . . ..
Par cons´ equent, la valeur nodale |u
n
j | ne cesse de croˆ ıtre quand n → ∞ et la
solution num´ erique “explose” tandis que la solution exacte v´ erifie
|u(x, t)| = |u 0 (x − at)| ≤ max
s∈R
|u 0 (s)| ∀x ∈ R, ∀t > 0.
Le sch´ ema centr´ e (12.35) est donc inconditionnellement instable, c’est-` a-dire
instable quel que soit le choix des param` etres ∆t et ∆x.
Cette analyse, bas´ ee sur les s´ eries de Fourier, est appel´ ee analyse de von
Neumann. On l’utilise pour ´ etudier non seulement la stabilit´ e d’un sch´ ema
num´ erique en norme · · ∆,2 mais aussi ses propri´ et´ es de dissipation et de
dispersion.
Tout sch´ ema aux diff´ erences finies explicite pour le probl` eme (12.26) satisfait une relation de r´ ecurrence analogue `
a (12.50), o` u γ k d´ epend a priori
de ∆t et h et est appel´ e k-` eme coefficient d’amplification du sch´ ema.
Th´ eor` eme 12.1 Si on choisit ∆t et h tels que |γ k | ≤ 1 ∀k, alors le sch´ ema
num´ erique est stable dans la norme · · ∆,2 .
D´ emonstration. Pour simplifier, on se restreint au cas o` u u0 est une fonction
2π-p´ eriodique. On prend N noeuds ´ equir´ epartis sur [0, 2π[ (avec N pair) :
xj = jh, j = 0, . . . , N − 1, avec h =
2π
N
,
Les donn´ ees initiales sont alors {u0(xj), j = 0, . . . , N − 1}. Ceci revient `
a remplacer dans le sch´ ema num´ erique u0 par son interpolation trigonom´ etrique, not´ ee ˜
u0,
d’ordre N/2 aux noeuds {xj}. Ainsi,
˜
u0(x) =
N
2
−1
k=− N
2
αke
ikx ,