12.7 Analyse des m´ ethodes de diff´ erences finies
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L’in´ egalit´ e (12.44) est donc satisfaite en prenant C T = 1 et · · ∆ = · · ∆,1 .
Le sch´ ema de Lax-Friedrichs est ´ egalement stable, sous l’hypoth` ese (12.46).
En effet, on a d’apr` es (12.37)
u
n+1
j
=
1
2
(1 − λa)u
n
j+1 +
1
2
(1 + λa)u
n
j−1 .
Donc,
n+1
∆,1 ≤
1
2
∆x
⎡
⎣
j
|(1 − λa)u
n
j+1 | +
j
|(1 + λa)u
n
j−1 |
⎤
⎦
≤
1
2
(1 − λa)u
n
∆,1 +
1
2
(1 + λa)u
n
∆,1 = u
n
∆,1 .
De mˆ eme, le sch´ ema de Lax-Wendroff est stable d` es que l’hypoth` ese (12.46)
sur ∆t est v´ erifi´ ee (pour la preuve, voir p.ex. [QV94] Chapitre 14).
12.7.4 Analyse de stabilit´ e de von Neumann
Nous allons maintenant montrer que la condition (12.46) n’est pas suffisante
pour garantir la stabilit´ e du sch´ ema d’Euler explicite/centr´ e (12.35). Pour
cela, nous supposons que la fonction u 0 (x) est 2π-p´ eriodique et peut ˆ etre
d´ evelopp´ ee en s´ erie de Fourier
u 0 (x) =
∞
k=−∞
α k e
ikx ,
(12.49)
o` u
α k =
1
2π
2π
0
u 0 (x) e
−ikx dx
est le k-` eme coefficient de Fourier de u 0 (voir Section 9.9). Donc,
u
0
j = u 0 (x j ) =
∞
k=−∞
α k e
ikjh , j = 0, ±1, ±2, . . . ,
o` u on a pos´ e h = ∆x pour all´ eger les notations. En appliquant (12.35) avec
n = 0, on obtient :
u
1
j
=
∞
k=−∞
α k e
ikjh
1 −
a∆t
2h
(e
ikh
− e
−ikh )
=
∞
k=−∞
α k e
ikjh
1 −
a∆t
h
i sin(kh)
.