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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
En particulier, en passant `
a la limite ∆t → 0 avec λ fix´ e, le domaine de
d´ ependance num´ erique devient
D 0 (x, t) =
x ∈ R : |x − x| ≤
t
λ
.
La condition (12.46) est donc ´ equivalente `
a l’inclusion
D(x, t) ⊂ D 0 (x, t),
(12.47)
o` u D(x, t) est le domaine de d´ ependance d´ efini en (12.30).
Cette condition est n´ ecessaire ` a la stabilit´ e. En effet, quand elle n’est pas
satisfaite, il existe des points y
∗ qui appartiennent au domaine de d´ ependance
sans appartenir au domaine de d´ ependance num´ erique. Changer la donn´ ee
initiale en y
∗ influence alors la solution exacte mais pas la solution num´ erique. Ceci rend impossible la convergence et a fortiori la stabilit´ e, d’apr` es le
th´ eor` eme d’´ equivalence de Lax-Richtmyer.
Dans le cas d’un syst` eme hyperbolique, on d´ eduit de (12.47) que la condition de CFL revient `
a dire que les droites d’´ equation x = x − λ k (t − t),
k = 1, . . ., p doivent couper la droite t = t − ∆t en des points x appartenant
au domaine de d´ ependance (voir Figure 12.4).
¯
x + ∆x
¯
t
(¯ x, ¯ t)
¯
x − ∆x ¯
x
¯
x + ∆x
(¯ x, ¯ t)
r 1
r 2
r 2
r 1
¯ t
¯ t − ∆t
¯
x − ∆x
¯
x
Fig. 12.4. Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la condition de CFL pour un syst` eme avec
p = 2, o` u ri = ¯
x − λi(t − ¯ t) i = 1, 2. La condition de CFL est satisfaite sur le sch´ ema
de gauche, mais pas sur le sch´ ema de droite
Analysons la stabilit´ e de quelques-unes des m´ ethodes introduites ci-dessus.
En supposant a > 0, le sch´ ema d´ ecentr´ e (12.39) peut s’´ ecrire
u
n+1
j
= u
n
j − λa(u
n
j − u
n
j−1 ).
(12.48)
Donc
n+1
∆,1 ≤ ∆x
j
|(1 − λa)u
n
j | + ∆x
j
|λau
n
j−1 |.
Les deux quantit´ es λa et 1 − λa sont positives si (12.46) est v´ erifi´ ee. Donc
n+1
∆,1 ≤ ∆x(1 − λa)
j
|u
n
j | + ∆xλa
j
|u
n
j−1 | = u
n
∆,1 .
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
En particulier, en passant `
a la limite ∆t → 0 avec λ fix´ e, le domaine de
d´ ependance num´ erique devient
D 0 (x, t) =
x ∈ R : |x − x| ≤
t
λ
.
La condition (12.46) est donc ´ equivalente `
a l’inclusion
D(x, t) ⊂ D 0 (x, t),
(12.47)
o` u D(x, t) est le domaine de d´ ependance d´ efini en (12.30).
Cette condition est n´ ecessaire ` a la stabilit´ e. En effet, quand elle n’est pas
satisfaite, il existe des points y
∗ qui appartiennent au domaine de d´ ependance
sans appartenir au domaine de d´ ependance num´ erique. Changer la donn´ ee
initiale en y
∗ influence alors la solution exacte mais pas la solution num´ erique. Ceci rend impossible la convergence et a fortiori la stabilit´ e, d’apr` es le
th´ eor` eme d’´ equivalence de Lax-Richtmyer.
Dans le cas d’un syst` eme hyperbolique, on d´ eduit de (12.47) que la condition de CFL revient `
a dire que les droites d’´ equation x = x − λ k (t − t),
k = 1, . . ., p doivent couper la droite t = t − ∆t en des points x appartenant
au domaine de d´ ependance (voir Figure 12.4).
¯
x + ∆x
¯
t
(¯ x, ¯ t)
¯
x − ∆x ¯
x
¯
x + ∆x
(¯ x, ¯ t)
r 1
r 2
r 2
r 1
¯ t
¯ t − ∆t
¯
x − ∆x
¯
x
Fig. 12.4. Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la condition de CFL pour un syst` eme avec
p = 2, o` u ri = ¯
x − λi(t − ¯ t) i = 1, 2. La condition de CFL est satisfaite sur le sch´ ema
de gauche, mais pas sur le sch´ ema de droite
Analysons la stabilit´ e de quelques-unes des m´ ethodes introduites ci-dessus.
En supposant a > 0, le sch´ ema d´ ecentr´ e (12.39) peut s’´ ecrire
u
n+1
j
= u
n
j − λa(u
n
j − u
n
j−1 ).
(12.48)
Donc
n+1
∆,1 ≤ ∆x
j
|(1 − λa)u
n
j | + ∆x
j
|λau
n
j−1 |.
Les deux quantit´ es λa et 1 − λa sont positives si (12.46) est v´ erifi´ ee. Donc
n+1
∆,1 ≤ ∆x(1 − λa)
j
|u
n
j | + ∆xλa
j
|u
n
j−1 | = u
n
∆,1 .