12.7 Analyse des m´ ethodes de diff´ erences finies
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Cette in´ egalit´ e est connue sous le nom de condition de CFL. Le nombre aλ, qui
est une quantit´ e sans dimension (puisque a est une vitesse), est appel´ e nombre
de CFL. Si la vitesse a n’est pas constante, la condition de CFL s’´ ecrit
∆t ≤
∆x
sup
x∈R, t>0
|a(x, t)|
.
Dans le cas d’un syst` eme hyperbolique (12.29), la condition de stabilit´ e devient
λ k
∆t
∆x
≤ 1, k = 1, . . . , p,
o` u {λ k , k = 1 . . . , p} d´ esigne l’ensemble des valeurs propres de A.
On peut donner une interpr´ etation g´ eom´ etrique de la condition de CFL.
Dans un sch´ ema aux diff´ erences finies, u
n+1
j
d´ epend le plus souvent des valeurs
de u
n aux trois points x j+i , i = −1, 0, 1. Par r´ ecurrence, la solution u
n+1
j
ne
d´ epend de la donn´ ee initiale qu’aux points x j+i , pour i = −(n+1), . . . , (n+1)
(voir Figure 12.3).
x j+(n+1)
t
t
n+1
t
n
x j−1
x j−(n+1)
x j
x j+1
x
t
1
t
0
Fig. 12.3. Domaine de d´ ependance num´ erique D∆t(xj, t
n+1 )
On d´ efinit le domaine de d´ ependance num´ erique D ∆t (x j , t
n ) comme l’ensemble des points au temps t = 0 dont d´ epend la solution u
n
j , c’est-` a-dire
D ∆t (x j , t
n ) ⊂
x ∈ R : |x − x j | ≤ n∆x =
t
n
λ
.
On a donc, pour tout point (x, t),
D ∆t (x, t) ⊂
x ∈ R : |x − x| ≤
t
λ
.