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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
L’erreur de troncature est
τ (∆t, ∆x) = max
j,n
|τ
n
j |.
Si τ (∆t, ∆x) tend vers z´ ero quand ∆t et ∆x tendent ind´ ependamment vers
z´ ero, le sch´ ema num´ erique est dit consistant.
Le sch´ ema est dit d’ordre p en temps et d’ordre q en espace, si, pour une
solution assez r´ eguli` ere du probl` eme exact, on a
τ (∆t, ∆x) = O(∆t
p + ∆x
q ).
Un d´ eveloppement de Taylor permet de calculer les erreurs de troncature
des m´ ethodes introduites ci-dessus. On les a indiqu´ ees dans la Table 12.1.
Le sch´ ema saute-mouton et le sch´ ema de Newmark sont tous les deux du
second ordre si ∆t = ∆x. L’erreur de troncature des sch´ emas d’Euler centr´ es,
implicite ou explicite, est en O(∆t + ∆x
2 ).
Enfin, on dit qu’un sch´ ema num´ erique est convergent si
lim
∆t,∆x→0
max
j,n
|u(x j , t
n ) − u
n
j | = 0.
12.7.2 Stabilit´ e
On dit qu’une m´ ethode num´ erique appliqu´ ee ` a un probl` eme hyperbolique
(lin´ eaire ou non lin´ eaire) est stable si, pour tout temps T , il existe deux
constantes C T > 0 (d´ ependant ´ eventuellement de T ) et δ 0 > 0, telles que
n
∆ ≤ C T u
0
∆ ,
(12.44)
pour tout n tel que n∆t ≤ T et pour tout ∆t, ∆x tels que 0 < ∆t ≤ δ 0 ,
0 < ∆x ≤ δ 0 . On a d´ esign´ e par · · ∆ une norme discr` ete convenable, par
exemple l’une des suivantes :
∆,p =
⎛
⎝ ∆x
∞
j=−∞
|v j |
p
⎞
⎠
1
p
pour p = 1, 2, ∆,∞ = sup
j
|v j |. (12.45)
On notera que ·· ∆,p est une approximation de la norme L
p (R). Par exemple,
le sch´ ema d’Euler implicite/centr´ e (12.41) est inconditionnellement stable
dans la norme · · ∆,2 (voir Exercice 7).
12.7.3 Condition de CFL
Courant, Friedrichs et Lewy [CFL28] ont montr´ e que, pour qu’un sch´ ema
explicite de la forme (12.34) soit stable, il est n´ ecessaire que les pas de discr´ etisation en espace et en temps v´ erifient
|aλ| =
a
∆t
∆x
≤ 1.
(12.46)
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
L’erreur de troncature est
τ (∆t, ∆x) = max
j,n
|τ
n
j |.
Si τ (∆t, ∆x) tend vers z´ ero quand ∆t et ∆x tendent ind´ ependamment vers
z´ ero, le sch´ ema num´ erique est dit consistant.
Le sch´ ema est dit d’ordre p en temps et d’ordre q en espace, si, pour une
solution assez r´ eguli` ere du probl` eme exact, on a
τ (∆t, ∆x) = O(∆t
p + ∆x
q ).
Un d´ eveloppement de Taylor permet de calculer les erreurs de troncature
des m´ ethodes introduites ci-dessus. On les a indiqu´ ees dans la Table 12.1.
Le sch´ ema saute-mouton et le sch´ ema de Newmark sont tous les deux du
second ordre si ∆t = ∆x. L’erreur de troncature des sch´ emas d’Euler centr´ es,
implicite ou explicite, est en O(∆t + ∆x
2 ).
Enfin, on dit qu’un sch´ ema num´ erique est convergent si
lim
∆t,∆x→0
max
j,n
|u(x j , t
n ) − u
n
j | = 0.
12.7.2 Stabilit´ e
On dit qu’une m´ ethode num´ erique appliqu´ ee ` a un probl` eme hyperbolique
(lin´ eaire ou non lin´ eaire) est stable si, pour tout temps T , il existe deux
constantes C T > 0 (d´ ependant ´ eventuellement de T ) et δ 0 > 0, telles que
n
∆ ≤ C T u
0
∆ ,
(12.44)
pour tout n tel que n∆t ≤ T et pour tout ∆t, ∆x tels que 0 < ∆t ≤ δ 0 ,
0 < ∆x ≤ δ 0 . On a d´ esign´ e par · · ∆ une norme discr` ete convenable, par
exemple l’une des suivantes :
∆,p =
⎛
⎝ ∆x
∞
j=−∞
|v j |
p
⎞
⎠
1
p
pour p = 1, 2, ∆,∞ = sup
j
|v j |. (12.45)
On notera que ·· ∆,p est une approximation de la norme L
p (R). Par exemple,
le sch´ ema d’Euler implicite/centr´ e (12.41) est inconditionnellement stable
dans la norme · · ∆,2 (voir Exercice 7).
12.7.3 Condition de CFL
Courant, Friedrichs et Lewy [CFL28] ont montr´ e que, pour qu’un sch´ ema
explicite de la forme (12.34) soit stable, il est n´ ecessaire que les pas de discr´ etisation en espace et en temps v´ erifient
|aλ| =
a
∆t
∆x
≤ 1.
(12.46)