12.7 Analyse des m´ ethodes de diff´ erences finies
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Table 12.1. Viscosit´ e artificielle, flux artificiel et erreur de troncature pour les
sch´ emas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff et pour le sch´ ema d´ ecentr´ e
m´ ethodes
k
h
dif f
j+1/2
τ (∆t, ∆x)
Lax-Friedrichs
∆x
2
−
1
2λ
(uj+1 − uj)
O
∆x
2
∆t
+ ∆t + ∆x
Lax-Wendroff
a
2 ∆t
2
−
λa
2
2
(uj+1 − uj)
O
∆t
2 + ∆x
2
D´ ecentr´ e
|a|∆x∆t
−
|a|
2
(uj+1 − uj)
O(∆t + ∆x)
qui peut aussi s’´ ecrire sous la forme (12.34) `
a condition de remplacer h
n par
h
n+1 . Dans ce cas, le flux num´ erique est identique `
a celui du sch´ ema d’Euler
explicite/centr´ e.
Voici pour finir deux sch´ emas permettant de r´ esoudre num´ eriquement l’´ equation des ondes (12.31) :
1. Saute-mouton (leap-frog en anglais)
u
n+1
j
− 2u
n
j + u
n−1
j
= (γλ)
2 (u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1 );
(12.42)
2. Newmark
u
n+1
j
− u
n
j = ∆tv
n
j + (γλ)
2
βw
n+1
j
+
1
2 − β
w
n
j
,
v
n+1
j
− v
n
j =
(γλ)
2
∆t
θw
n+1
j
+ (1 − θ)w
n
j
,
(12.43)
avec w j = u j+1 − 2u j + u j−1 et o` u les param` etres β et θ satisfont 0 ≤
β ≤
1
2
, 0 ≤ θ ≤ 1.
12.7 Analyse des m´ ethodes de diff´ erences finies
Nous allons analyser la consistance, la stabilit´ e et la convergence des sch´ emas aux diff´ erences finies introduits ci-dessus, ainsi que leurs propri´ et´ es de
dissipation et de dispersion.
12.7.1 Consistance
Comme on l’a vu ` a la Section 10.3, l’erreur de troncature locale d’un sch´ ema
num´ erique est le r´ esidu obtenu quand on injecte la solution exacte dans le
sch´ ema.
En notant u la solution exacte du probl` eme (12.26), on d´ efinit l’erreur de
troncature locale de la m´ ethode (12.35) en (x j , t
n ) par
τ
n
j =
u(x j , t
n+1 ) − u(x j , t
n )
∆t
− a
u(x j+1 , t
n ) − u(x j−1 , t
n )
2∆x
.