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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
2. Lax-Friedrichs
u
n+1
j
=
1
2
(u
n
j+1 + u
n
j−1 ) −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 )
(12.37)
qui est de la forme (12.34) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − λ
−1 (u
n
j+1 − u
n
j )].
3. Lax-Wendroff
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ) +
λ
2
2
a
2 (u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1 )
(12.38)
qui est de la forme (12.34) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − λa
2 (u
n
j+1 − u
n
j )].
4. Euler explicite/d´ ecentr´ e
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ) +
λ
2
|a|(u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1 )
(12.39)
qui est de la forme (12.34) avec
h
n
j+1/2 =
1
2
[a(u
n
j+1 + u
n
j ) − |a|(u
n
j+1 − u
n
j )].
On peut obtenir les trois derniers sch´ emas en ajoutant un terme de diffusion num´ erique au sch´ ema d’Euler explicite/centr´ e. Ils s’´ ecrivent alors de
mani` ere ´ equivalente :
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 ) +
1
2
k
u
n
j+1 − 2u
n
j + u
n
j−1
(∆x) 2
,
(12.40)
o` u la viscosit´ e artificielle k correspondant `
a chaque cas est donn´ ee dans la
Table 12.1.
Ainsi, le flux num´ erique de chaque sch´ ema s’´ ecrit
h j+1/2 = h
F E
j+1/2 + h
diff
j+1/2 ,
o` u h
F E
j+1/2 est le flux num´ erique du sch´ ema d’Euler/centr´ e (donn´ e en (12.36))
et o` u le flux diffusif artificiel h
diff
j+1/2 est donn´ e, pour les trois cas, dans la Table
12.1.
Comme exemple de m´ ethode implicite, on peut consid´ erer le sch´ ema d’Euler
implicite/centr´ e
u
n+1
j
+
λ
2
a(u
n+1
j+1 − u
n+1
j−1 ) = u
n
j ,
(12.41)