12.6 M´ ethode des diff´ erences finies pour les ´ equations hyperboliques
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qui repr´ esente une parabole dans le plan (x, t). Enfin, pour l’´ equation de Poisson (11.66), en rempla¸ cant
∂
2 u
∂x 2 par x
2 ,
∂
2 u
∂y 2 par y
2 et f par 1, on trouve
x
2 + y
2 = 1,
qui est l’´ equation d’une ellipse dans le plan (x, y).
C’est cette interpr´ etation g´ eom´ etrique qui explique la classification des
op´ erateurs diff´ erentiels en op´ erateurs hyperboliques, paraboliques et elliptiques.
12.6 M´ ethode des diff´ erences finies pour les ´ equations
hyperboliques
On propose de discr´ etiser le probl` eme hyperbolique (12.26) par diff´ erences
finies en espace-temps. Pour cela, le demi-plan {(x, t) : −∞ < x < ∞, t > 0}
est discr´ etis´ e en choisissant un pas d’espace ∆x, un pas de temps ∆t et des
points de grille (x j , t
n ) d´ efinis par
x j = j∆x, j ∈ Z, t
n = n∆t, n ∈ N.
On pose
λ = ∆t/∆x,
et x j+1/2 = x j + ∆x/2. On cherche des solutions discr` etes u
n
j qui approchent
les valeurs u(x j , t
n ) de la solution exacte pour tout j, n.
On utilise assez souvent des m´ ethodes explicites en temps dans les probl` emes hyperboliques, bien que celles-ci imposent des restrictions sur la valeur
de λ (contrairement `
a ce qui se passe pour les m´ ethodes implicites).
Concentrons-nous sur le probl` eme (12.26). Tout sch´ ema aux diff´ erences finies
explicite peut s’´ ecrire sous la forme
u
n+1
j
= u
n
j − λ(h
n
j+1/2 − h
n
j−1/2 ),
(12.34)
o` u h
n
j+1/2 = h(u
n
j , u
n
j+1 ) pour tout j. La fonction h(·, ·) s’appelle flux num´ erique.
12.6.1 Discr´ etisation de l’´ equation scalaire
Voici plusieurs exemples de m´ ethodes explicites et les flux num´ eriques correspondant.
1. Euler explicite/centr´ e
u
n+1
j
= u
n
j −
λ
2
a(u
n
j+1 − u
n
j−1 )
(12.35)
qui peut ˆ etre mis sous la forme (12.34) en posant
h
n
j+1/2 =
1
2
a(u
n
j+1 + u
n
j ).
(12.36)