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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
compl´ et´ ee par la donn´ e initiale
u(x, 0) = u 0 (x) et
∂u
∂t
(x, 0) = v 0 (x), x ∈]α, β[,
et les conditions aux limites
u(α, t) = 0 et u(β, t) = 0, t > 0.
(12.32)
Par exemple, u peut mod´ eliser le d´ eplacement transverse d’une corde vibrante
de longueur β − α, fix´ ee ` a ses extr´ emit´ es. Dans ce cas, γ est un coefficient
d´ ependant de la masse lin´ eique et de la raideur de la corde et f est une
densit´ e de force verticale appliqu´ ee ` a la corde.
Les fonctions u 0 (x) et v 0 (x) d´ esignent respectivement le d´ eplacement initial et la vitesse initiale de la corde.
Le changement de variables
ω 1 =
∂u
∂x
, ω 2 =
∂u
∂t
,
transforme (12.31) en le syst` eme du premier ordre
∂ω
∂t
+ A
∂ω
∂x
= f , x ∈]α, β[, t > 0,
(12.33)
o` u
ω =
ω 1
ω 2
, A =
0
−1
−γ
2
0
, f =
0
f
,
et les conditions initiales sont ω 1 (x, 0) = u
0 (x) et ω 2 (x, 0) = v 0 (x).
Comme les valeurs propres de A sont les deux r´ eels distincts ±γ (repr´ esentant les vitesses de propagation de l’onde), on en d´ eduit que le syst` eme (12.33)
est hyperbolique. Etant donn´ e le signe des valeurs propres, on voit aussi qu’une
condition aux limites doit ˆ etre impos´ ee en chaque extr´ emit´ e, comme cela a ´ et´ e
fait en (12.32). Remarquer que, comme dans les cas pr´ ec´ edents, des donn´ ees
initiales r´ eguli` eres donnent des solutions r´ eguli` eres, tandis que d’´ eventuelles
discontinuit´ es de la donn´ ee initiale se propagent le long des caract´ eristiques.
Remarque 12.2 Remarquer qu’en rempla¸ cant
∂
2 u
∂t 2 par t
2 ,
∂
2 u
∂x 2 par x
2 et f
par 1, l’´ equation des ondes devient
t
2
− γ
2 x
2 = 1,
qui repr´ esente une hyperbole dans le plan (x, t). Si on avait proc´ ed´ e de mˆ eme
pour l’´ equation de la chaleur (12.1), on aurait trouv´ e
t − νx
2 = 1,
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
compl´ et´ ee par la donn´ e initiale
u(x, 0) = u 0 (x) et
∂u
∂t
(x, 0) = v 0 (x), x ∈]α, β[,
et les conditions aux limites
u(α, t) = 0 et u(β, t) = 0, t > 0.
(12.32)
Par exemple, u peut mod´ eliser le d´ eplacement transverse d’une corde vibrante
de longueur β − α, fix´ ee ` a ses extr´ emit´ es. Dans ce cas, γ est un coefficient
d´ ependant de la masse lin´ eique et de la raideur de la corde et f est une
densit´ e de force verticale appliqu´ ee ` a la corde.
Les fonctions u 0 (x) et v 0 (x) d´ esignent respectivement le d´ eplacement initial et la vitesse initiale de la corde.
Le changement de variables
ω 1 =
∂u
∂x
, ω 2 =
∂u
∂t
,
transforme (12.31) en le syst` eme du premier ordre
∂ω
∂t
+ A
∂ω
∂x
= f , x ∈]α, β[, t > 0,
(12.33)
o` u
ω =
ω 1
ω 2
, A =
0
−1
−γ
2
0
, f =
0
f
,
et les conditions initiales sont ω 1 (x, 0) = u
0 (x) et ω 2 (x, 0) = v 0 (x).
Comme les valeurs propres de A sont les deux r´ eels distincts ±γ (repr´ esentant les vitesses de propagation de l’onde), on en d´ eduit que le syst` eme (12.33)
est hyperbolique. Etant donn´ e le signe des valeurs propres, on voit aussi qu’une
condition aux limites doit ˆ etre impos´ ee en chaque extr´ emit´ e, comme cela a ´ et´ e
fait en (12.32). Remarquer que, comme dans les cas pr´ ec´ edents, des donn´ ees
initiales r´ eguli` eres donnent des solutions r´ eguli` eres, tandis que d’´ eventuelles
discontinuit´ es de la donn´ ee initiale se propagent le long des caract´ eristiques.
Remarque 12.2 Remarquer qu’en rempla¸ cant
∂
2 u
∂t 2 par t
2 ,
∂
2 u
∂x 2 par x
2 et f
par 1, l’´ equation des ondes devient
t
2
− γ
2 x
2 = 1,
qui repr´ esente une hyperbole dans le plan (x, t). Si on avait proc´ ed´ e de mˆ eme
pour l’´ equation de la chaleur (12.1), on aurait trouv´ e
t − νx
2 = 1,