12.5 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires hyperboliques
469
que
A = TΛT
−1 ,
o` u Λ = diag(λ 1 , ..., λ p ) est la matrice diagonale des valeurs propres r´ eelles de
A, et o` u T = [ω
1 , ω
2 , . . . , ω
p ] est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs
propres `
a droite de A (voir Section 1.7). Ainsi
Aω
k = λ k ω
k , k = 1, . . . , p.
Le syst` eme est dit strictement hyperbolique s’il est hyperbolique et que ses
valeurs propres sont distinctes.
En introduisant les variables caract´ eristiques w = T
−1 u, le syst` eme (12.29)
devient
∂w
∂t
+ Λ
∂w
∂x
= 0.
C’est un syst` eme de p ´ equations scalaires ind´ ependantes de la forme
∂w k
∂t
+ λ k
∂w k
∂x
= 0, k = 1, . . . , p.
En proc´ edant comme ` a la Section 12.4, on obtient w k (x, t) = w k (x − λ k t, 0),
et donc la solution u = Tw du probl` eme (12.29) peut s’´ ecrire
u(x, t) =
p
k=1
w k (x − λ k t, 0)ω
k .
Le long de la k-` eme caract´ eristique, qui est la courbe (x k (t), t) du plan (x, t)
v´ erifiant x
k (t) = λ k , la fonction w k est constante. Dans le cas d’un syst` eme
strictement hyperbolique, en tout point (x, t) du plan (x, t) passent p caract´ eristiques distinctes. Donc u(x, t) ne d´ epend que de la donn´ ee initiale aux
points x − λ k t. C’est pourquoi l’ensemble des p points situ´ es aux pieds des
caract´ eristiques passant par le point (x, t)
D(t, x) =
x ∈ R : x = x − λ k t , k = 1, ..., p
,
(12.30)
est appel´ e domaine de d´ ependance de la solution u(x, t).
Si le probl` eme (12.29) est pos´ e sur un intervalle born´ e ]α, β[ au lieu d’ˆ etre
pos´ e sur la droite r´ eelle toute enti` ere, on d´ etermine le point d’entr´ ee de chaque
variable caract´ eristique w k en fonction du signe de λ k . Ainsi, le nombre de
valeurs propres positives (resp. n´ egatives) d´ etermine le nombre de conditions
aux limites pouvant ˆ etre impos´ ees en x = α (resp. x = β). On verra un
exemple de ceci ` a la Section 12.5.1.
12.5.1 Equation des ondes
On consid` ere l’´ equation hyperbolique du second ordre, appel´ ee ´ equation des
ondes,
∂
2 u
∂t 2 − γ
2 ∂
2 u
∂x 2 = f, x ∈]α, β[, t > 0,
(12.31)
469
que
A = TΛT
−1 ,
o` u Λ = diag(λ 1 , ..., λ p ) est la matrice diagonale des valeurs propres r´ eelles de
A, et o` u T = [ω
1 , ω
2 , . . . , ω
p ] est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs
propres `
a droite de A (voir Section 1.7). Ainsi
Aω
k = λ k ω
k , k = 1, . . . , p.
Le syst` eme est dit strictement hyperbolique s’il est hyperbolique et que ses
valeurs propres sont distinctes.
En introduisant les variables caract´ eristiques w = T
−1 u, le syst` eme (12.29)
devient
∂w
∂t
+ Λ
∂w
∂x
= 0.
C’est un syst` eme de p ´ equations scalaires ind´ ependantes de la forme
∂w k
∂t
+ λ k
∂w k
∂x
= 0, k = 1, . . . , p.
En proc´ edant comme ` a la Section 12.4, on obtient w k (x, t) = w k (x − λ k t, 0),
et donc la solution u = Tw du probl` eme (12.29) peut s’´ ecrire
u(x, t) =
p
k=1
w k (x − λ k t, 0)ω
k .
Le long de la k-` eme caract´ eristique, qui est la courbe (x k (t), t) du plan (x, t)
v´ erifiant x
k (t) = λ k , la fonction w k est constante. Dans le cas d’un syst` eme
strictement hyperbolique, en tout point (x, t) du plan (x, t) passent p caract´ eristiques distinctes. Donc u(x, t) ne d´ epend que de la donn´ ee initiale aux
points x − λ k t. C’est pourquoi l’ensemble des p points situ´ es aux pieds des
caract´ eristiques passant par le point (x, t)
D(t, x) =
x ∈ R : x = x − λ k t , k = 1, ..., p
,
(12.30)
est appel´ e domaine de d´ ependance de la solution u(x, t).
Si le probl` eme (12.29) est pos´ e sur un intervalle born´ e ]α, β[ au lieu d’ˆ etre
pos´ e sur la droite r´ eelle toute enti` ere, on d´ etermine le point d’entr´ ee de chaque
variable caract´ eristique w k en fonction du signe de λ k . Ainsi, le nombre de
valeurs propres positives (resp. n´ egatives) d´ etermine le nombre de conditions
aux limites pouvant ˆ etre impos´ ees en x = α (resp. x = β). On verra un
exemple de ceci ` a la Section 12.5.1.
12.5.1 Equation des ondes
On consid` ere l’´ equation hyperbolique du second ordre, appel´ ee ´ equation des
ondes,
∂
2 u
∂t 2 − γ
2 ∂
2 u
∂x 2 = f, x ∈]α, β[, t > 0,
(12.31)