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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
t
x
a
b
P 0
P
Q
Fig. 12.2. Exemples de caract´ eristiques : droites issues des points P et Q
o` u a, a 0 et f sont des fonctions des variables (x, t), les courbes caract´ eristiques
sont encore d´ efinies par (12.27). Mais dans ce cas, les solutions de (12.28)
satisfont, le long des caract´ eristiques, l’´ equation diff´ erentielle
du
dt
= f − a 0 u sur (x(t), t).
Consid´ erons maintenant le probl` eme (12.26) sur un intervalle born´ e. Par
exemple, supposons que x ∈ [α, β] et a > 0. Comme u est constante le long
des caract´ eristiques, on voit sur la Figure 12.2 (` a gauche) que la solution en
P a la valeur u 0 qu’elle avait en P 0 , “pied” de la caract´ eristique issue de P .
Consid´ erons ` a pr´ esent la caract´ eristique issue de Q : elle intersecte la droite
x(t) = α ` a un certain temps t = ¯
t > 0. Le point x = α est donc un point
d’entr´ ee et il est n´ ecessaire d’y fixer une valeur de u pour tout t > 0. Si a ´ etait
n´ egatif, alors le point d’entr´ ee serait en x = β.
Remarquer que dans le probl` eme (12.26), une discontinuit´ e de u 0 en x 0
se propage le long de la caract´ eristique issue de x 0 . On peut rendre cette
remarque rigoureuse en introduisant le concept de solutions faibles, voir p.ex.
[GR96]. Il existe une autre motivation `
a l’introduction des solutions faibles :
dans les probl` emes hyperboliques non lin´ eaires, les caract´ eristiques peuvent
se croiser ; dans ce cas, la solution ne peut pas ˆ etre continue et il n’existe plus
de solution au sens classique.
12.5 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires hyperboliques
On consid` ere les syst` emes lin´ eaires hyperboliques de la forme
∂u
∂t
+ A
∂u
∂x
= 0, x ∈ R, t > 0,
(12.29)
o` u u : R × [0, ∞[→ R
p et A ∈ R
p×p est une matrice ` a coefficients constants.
Le syst` eme est dit hyperbolique si A est diagonalisable et a des valeurs
propres r´ eelles, c’est-` a-dire s’il existe une matrice inversible T ∈ R
p×p telle
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
t
x
a
b
P 0
P
Q
Fig. 12.2. Exemples de caract´ eristiques : droites issues des points P et Q
o` u a, a 0 et f sont des fonctions des variables (x, t), les courbes caract´ eristiques
sont encore d´ efinies par (12.27). Mais dans ce cas, les solutions de (12.28)
satisfont, le long des caract´ eristiques, l’´ equation diff´ erentielle
du
dt
= f − a 0 u sur (x(t), t).
Consid´ erons maintenant le probl` eme (12.26) sur un intervalle born´ e. Par
exemple, supposons que x ∈ [α, β] et a > 0. Comme u est constante le long
des caract´ eristiques, on voit sur la Figure 12.2 (` a gauche) que la solution en
P a la valeur u 0 qu’elle avait en P 0 , “pied” de la caract´ eristique issue de P .
Consid´ erons ` a pr´ esent la caract´ eristique issue de Q : elle intersecte la droite
x(t) = α ` a un certain temps t = ¯
t > 0. Le point x = α est donc un point
d’entr´ ee et il est n´ ecessaire d’y fixer une valeur de u pour tout t > 0. Si a ´ etait
n´ egatif, alors le point d’entr´ ee serait en x = β.
Remarquer que dans le probl` eme (12.26), une discontinuit´ e de u 0 en x 0
se propage le long de la caract´ eristique issue de x 0 . On peut rendre cette
remarque rigoureuse en introduisant le concept de solutions faibles, voir p.ex.
[GR96]. Il existe une autre motivation `
a l’introduction des solutions faibles :
dans les probl` emes hyperboliques non lin´ eaires, les caract´ eristiques peuvent
se croiser ; dans ce cas, la solution ne peut pas ˆ etre continue et il n’existe plus
de solution au sens classique.
12.5 Syst` emes d’´ equations lin´ eaires hyperboliques
On consid` ere les syst` emes lin´ eaires hyperboliques de la forme
∂u
∂t
+ A
∂u
∂x
= 0, x ∈ R, t > 0,
(12.29)
o` u u : R × [0, ∞[→ R
p et A ∈ R
p×p est une matrice ` a coefficients constants.
Le syst` eme est dit hyperbolique si A est diagonalisable et a des valeurs
propres r´ eelles, c’est-` a-dire s’il existe une matrice inversible T ∈ R
p×p telle