12.4 Equations hyperboliques : un probl` eme de transport scalaire
467
10
1
10
2
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
Fig. 12.1. Analyse de la convergence du θ-sch´ ema en fonction du nombre 1/∆t de
pas de temps (en abscisse) : θ = 1 (trait plein) et θ = 0.5 (trait discontinu)
12.4 Equations hyperboliques :
un probl` eme de transport scalaire
Consid´ erons le probl` eme scalaire hyperbolique suivant
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = u 0 (x), x ∈ R,
(12.26)
o` u a est un nombre r´ eel positif. Sa solution est donn´ ee par
u(x, t) = u 0 (x − at), t ≥ 0,
et repr´ esente une onde se propageant `
a la vitesse a. Les courbes (x(t), t) du
plan (x, t) satisfaisant l’´ equation diff´ erentielle ordinaire suivante
⎧
⎨
⎩
dx(t)
dt
= a, t > 0,
x(0) = x 0 ,
(12.27)
sont appel´ ees courbes caract´ eristiques. Ce sont des lignes droites d’´ equation
x(t) = x 0 + at, t > 0 le long desquelles la solution de (12.26) reste constante.
En effet,
du
dt
=
∂u
∂t
+
∂u
∂x
dx
dt
= 0
sur (x(t), t).
Pour le probl` eme plus g´ en´ eral
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
+ a 0 u = f, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = u 0 (x),
x∈ R,
(12.28)