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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
En posant F = 0 dans (12.18) et en prenant v h = w
i
h , on trouve
1
∆t
Nh
j=1
u
k+1
j
− u
k
j
w
j
h , w
i
h
+
Nh
j=1
θu
k+1
j
+ (1 − θ)u
k
j
a(w
j
h , w
i
h ) = 0,
i= 1, . . ., N h .
Comme les w
j
h sont les fonctions propres de a(·, ·), on obtient
a(w
j
h , w
i
h ) = λ
j
h (w
j
h , w
i
h ) = λ
j
h δ ij = λ
i
h ,
d’o` u
u
k+1
i
− u
k
i
∆t
+
θu
k+1
i
+ (1 − θ)u
k
i
λ
i
h = 0.
En r´ esolvant cette ´ equation par rapport `
a u
k+1
i
, on trouve
u
k+1
i
= u
k
i
1 − (1 − θ)λ
i
h ∆t
1 + θλ
i
h ∆t
.
Pour que la m´ ethode soit inconditionnellement stable, on doit avoir (voir Chapitre 10)
1 − (1 − θ)λ
i
h ∆t
1 + θλ
i
h ∆t
< 1,
c’est-` a-dire
2θ − 1 > −
2
λ i
h ∆t
.
Si θ ≥ 1/2, cette in´ egalit´ e est satisfaite pour toute valeur de ∆t. Inversement,
si θ < 1/2, on doit avoir
∆t <
2
(1 − 2θ)λ
i
h
.
Pour que cette relation soit v´ erifi´ ee pour toutes les valeurs propres λ
i
h de la
forme bilin´ eaire, il suffit qu’elle le soit pour la plus grande d’entre elles, qu’on
supposera ˆ etre λ
Nh
h .
On conclut donc que si θ ≥ 1/2 le θ-sch´ ema est inconditionnellement stable
(i.e. stable ∀∆t), tandis que si 0 ≤ θ < 1/2 le θ-sch´ ema est stable seulement si
∆t ≤
2
(1 − 2θ)λ
Nh
h
.
On peut montrer qu’il existe deux constantes positives c 1 et c 2 , ind´ ependantes
de h, telles que
c 1 h
−2
≤ λ
Nh
h = c 2 h
−2