12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation de la chaleur
463
Remarque 12.1 On peut ´ etablir le mˆ eme type d’in´ egalit´ e de stabilit´ e (12.21)
et (12.22) quand a(·, ·) est une forme bilin´ eaire plus g´ en´ erale, ` a condition
qu’elle soit continue et coercive (voir Exercice 4).
Pour effectuer l’analyse de stabilit´ e du θ-sch´ ema pour un θ arbitraire dans
[0, 1], on a besoin de d´ efinir les valeurs propres et les vecteurs propres de la
forme bilin´ eaire a(·, ·).
D´ efinition 12.1 On dit que λ est une valeur propre de la forme bilin´ eaire
a(·, ·) : V × V → R, et que w ∈ V est le vecteur propre associ´ e, si
a(w, v) = λ(w, v)
∀v ∈ V,
o` u (·, ·) d´ esigne le produit scalaire habituel sur L
2 (]0, 1[).
Si la forme bilin´ eaire a(·, ·) est sym´ etrique et coercive, elle a une infinit´ e de
valeurs propres strictement positives formant une suite non born´ ee ; de plus,
les vecteurs propres associ´ es (appel´ es aussi fonctions propres) forment une
base de l’espace V .
Au niveau discret, le couple correspondant (λ h , w h ) ∈ R × V h v´ erifie
a(w h , v h ) = λ h (w h , v h ) ∀v h ∈ V h .
(12.23)
D’un point de vue alg´ ebrique, on peut reformuler le probl` eme (12.23) de la
mani` ere suivante :
A fe w = λ h Mw
(o` u w est le vecteur contenant les valeurs nodales de w h ). Ceci peut ˆ etre
vu comme un probl` eme de valeurs propres g´ en´ eralis´ e (voir [QSS07]). Toutes
les valeurs propres λ
1
h , . . . , λ
Nh
h
sont positives. Les vecteurs propres correspondants w
1
h , . . . , w
Nh
h
forment une base du sous-espace V h et peuvent ˆ etre
choisis orthonorm´ es, c’est-` a-dire tels que (w
i
h , w
j
h ) = δ ij , ∀i, j = 1, . . . , N h . En
particulier, toute fonction v h ∈ V h peut ˆ etre repr´ esent´ ee ainsi :
v h (x) =
Nh
j=1
v j w
j
h (x).
Supposons maintenant que θ ∈ [0, 1] et concentrons-nous sur le cas o` u la forme
bilin´ eaire a(·, ·) est sym´ etrique. Bien que le r´ esultat final de stabilit´ e soit encore
valable dans le cas non sym´ etrique, la preuve qui suit ne s’applique pas dans
ce cas, car alors les vecteurs propres ne forment pas une base de V h . Soient
w
i
h
les vecteurs propres de a(·, ·), qui forment une base orthogonale de V h .
A chaque pas de temps u
k
h ∈ V h , on peut exprimer u
k
h ainsi :
u
k
h (x) =
Nh
j=1
u
k
j w
j
h (x).
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Remarque 12.1 On peut ´ etablir le mˆ eme type d’in´ egalit´ e de stabilit´ e (12.21)
et (12.22) quand a(·, ·) est une forme bilin´ eaire plus g´ en´ erale, ` a condition
qu’elle soit continue et coercive (voir Exercice 4).
Pour effectuer l’analyse de stabilit´ e du θ-sch´ ema pour un θ arbitraire dans
[0, 1], on a besoin de d´ efinir les valeurs propres et les vecteurs propres de la
forme bilin´ eaire a(·, ·).
D´ efinition 12.1 On dit que λ est une valeur propre de la forme bilin´ eaire
a(·, ·) : V × V → R, et que w ∈ V est le vecteur propre associ´ e, si
a(w, v) = λ(w, v)
∀v ∈ V,
o` u (·, ·) d´ esigne le produit scalaire habituel sur L
2 (]0, 1[).
Si la forme bilin´ eaire a(·, ·) est sym´ etrique et coercive, elle a une infinit´ e de
valeurs propres strictement positives formant une suite non born´ ee ; de plus,
les vecteurs propres associ´ es (appel´ es aussi fonctions propres) forment une
base de l’espace V .
Au niveau discret, le couple correspondant (λ h , w h ) ∈ R × V h v´ erifie
a(w h , v h ) = λ h (w h , v h ) ∀v h ∈ V h .
(12.23)
D’un point de vue alg´ ebrique, on peut reformuler le probl` eme (12.23) de la
mani` ere suivante :
A fe w = λ h Mw
(o` u w est le vecteur contenant les valeurs nodales de w h ). Ceci peut ˆ etre
vu comme un probl` eme de valeurs propres g´ en´ eralis´ e (voir [QSS07]). Toutes
les valeurs propres λ
1
h , . . . , λ
Nh
h
sont positives. Les vecteurs propres correspondants w
1
h , . . . , w
Nh
h
forment une base du sous-espace V h et peuvent ˆ etre
choisis orthonorm´ es, c’est-` a-dire tels que (w
i
h , w
j
h ) = δ ij , ∀i, j = 1, . . . , N h . En
particulier, toute fonction v h ∈ V h peut ˆ etre repr´ esent´ ee ainsi :
v h (x) =
Nh
j=1
v j w
j
h (x).
Supposons maintenant que θ ∈ [0, 1] et concentrons-nous sur le cas o` u la forme
bilin´ eaire a(·, ·) est sym´ etrique. Bien que le r´ esultat final de stabilit´ e soit encore
valable dans le cas non sym´ etrique, la preuve qui suit ne s’applique pas dans
ce cas, car alors les vecteurs propres ne forment pas une base de V h . Soient
w
i
h
les vecteurs propres de a(·, ·), qui forment une base orthogonale de V h .
A chaque pas de temps u
k
h ∈ V h , on peut exprimer u
k
h ainsi :
u
k
h (x) =
Nh
j=1
u
k
j w
j
h (x).