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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
12.3.1 Analyse de stabilit´ e du θ-sch´ ema
Le θ-sch´ ema appliqu´ e au probl` eme de Galerkin (12.14) donne
u
k+1
h
− u
k
h
∆t
, v h
+ a
θu
k+1
h
+ (1 − θ)u
k
h , v h
= θF
k+1 (v h ) + (1 − θ)F
k (v h )
∀v h ∈ V h
(12.18)
pour k ≥ 0 et avec u
0
h = u 0h , F
k (v h ) =
1
0 f(t
k )v h (x)dx. Pour faire l’analyse
de stabilit´ e, on peut consid´ erer le cas particulier o` u F = 0 ; on se concentre
pour l’instant sur le cas θ = 1 (sch´ ema d’Euler implicite), c’est-` a-dire
u
k+1
h
− u
k
h
∆t
, v h
+ a
u
k+1
h , v h
= 0
∀v h ∈ V h .
En posant v h = u
k+1
h , on a
u
k+1
h
− u
k
h
∆t
, u
k+1
h
+ a(u
k+1
h , u
k+1
h ) = 0.
D’apr` es la d´ efinition de a(·, ·),
a
u
k+1
h , u
k+1
h
= ν
∂u
k+1
h
∂x
2
L 2 (]0,1[)
.
(12.19)
On remarque de plus (voir Exercice 3 pour la preuve de ce r´ esultat) que
k+1
h
2
L 2 (]0,1[) + 2ν∆t
∂u
k+1
h
∂x
2
L 2 (]0,1[)
≤ ≤u
k
h
2
L 2 (]0,1[) .
(12.20)
On en d´ eduit que, ∀n ≥ 1
n−1
k=0
u
k+1
h
2
L 2 (]0,1[) + 2ν∆t
n−1
k=0
∂u
k+1
h
∂x
2
L 2 (]0,1[)
≤
n−1
k=0
u
k
h
2
L 2 (]0,1[) .
La somme ´ etant t´ elescopique, on obtient
n
h
2
L 2 (]0,1[) + 2ν∆t
n−1
k=0
∂u
k+1
h
∂x
2
L 2 (]0,1[)
≤ ≤u 0h
2
L 2 (]0,1[) ,
(12.21)
ce qui montre que le sch´ ema est inconditionnellement stable. En proc´ edant de
mani` ere analogue quand f = 0, on peut montrer que
n
h
2
L 2 (]0,1[)
+ 2ν∆t
n−1
k=0
∂u
k+1
h
∂x
2
L 2 (]0,1[)
≤ C(n)
0h
2
L 2 (]0,1[) +
n
k=1
∆tf
k
2
L 2 (]0,1[)
,
(12.22)
o` u C(n) est une constante ind´ ependante de h et de ∆t.