12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation de la chaleur
465
(pour la preuve, voir [QV94], Section 6.3.2). On en d´ eduit, que si 0 ≤ θ < 1/2,
la m´ ethode est stable seulement si
∆t ≤ C 1 (θ)h
2 ,
(12.24)
pour une certaine constante C 1 (θ) ind´ ependante de h et ∆t.
Avec une preuve analogue, on peut montrer que si on utilise une m´ ethode de
Galerkin spectrale pour le probl` eme (12.13), le θ−sch´ ema est inconditionnellement stable si θ ≥
1
2 , tandis que pour 0 ≤ θ <
1
2 , on a stabilit´ e seulement si
∆t ≤ C 2 (θ)N
−4 ,
(12.25)
pour une constante C 2 (θ) ind´ ependante de N et ∆t. La diff´ erence entre (12.24)
et (12.25) est due au fait que la plus grande valeur propre de la matrice de
raideur spectrale croˆ ıt en O(N
4 ) par rapport au degr´ e du polynˆ ome d’approximation.
En comparant la solution du probl` eme totalement discr´ etis´ e (12.18) et celle
du probl` eme semi-discr´ etis´ e (12.14), en utilisant le r´ esultat de stabilit´ e (12.22)
et l’erreur de troncature en temps, on peut ´ etablir le r´ esultat de convergence
suivant
k ) − u
k
h L 2 (]0,1[) ≤ C(u 0 , f, u)(∆t
p(θ) + h
r+1 )
∀k ≥ 1,
o` u r d´ esigne le degr´ e du polynˆ ome par morceaux d´ efinissant l’espace d’´ el´ ement
finis V h , p(θ) = 1 si θ = 1/2, p(1/2) = 2 et C est une constante qui d´ epend
de ses arguments u 0 , f, u (en les supposant suffisamment r´ eguliers) mais pas
de h et ∆t. Dans le cas particulier o` u f = 0, on peut ´ etablir de meilleures
in´ egalit´ es :
k ) − u
k
h L 2 (]0,1[) ≤ C
h
√
t k
r+1
+
∆t
t k
p(θ)
0 L 2 (]0,1[) ,
pour k ≥ 1, θ = 1 ou θ = 1/2 (pour la preuve de ces r´ esultats, voir [QV94],
p. 394-395).
Le Programme 88 propose une impl´ ementation du θ-sch´ ema pour la r´ esolution
de l’´ equation de la chaleur sur le domaine ]a, b[×]t 0 , T [. La discr´ etisation en
espace se fait par ´ el´ ements finis affines par morceaux. Les param` etres d’entr´ ee
sont : le vecteur colonne I contenant les extr´ emit´ es de l’intervalle en espace
(a = I(1), b = I(2)) et de l’intervalle en temps (t 0 = I(3), T = I(4)) ; le
vecteur colonne n contenant le nombre de pas d’espace et de pas de temps ;
les macros u0 et f contenant les fonctions u 0h et f, la viscosit´ e constante
nu, les conditions aux limites de Dirichlet bc(1) et bc(2), et la valeur du
param` etre theta.
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(pour la preuve, voir [QV94], Section 6.3.2). On en d´ eduit, que si 0 ≤ θ < 1/2,
la m´ ethode est stable seulement si
∆t ≤ C 1 (θ)h
2 ,
(12.24)
pour une certaine constante C 1 (θ) ind´ ependante de h et ∆t.
Avec une preuve analogue, on peut montrer que si on utilise une m´ ethode de
Galerkin spectrale pour le probl` eme (12.13), le θ−sch´ ema est inconditionnellement stable si θ ≥
1
2 , tandis que pour 0 ≤ θ <
1
2 , on a stabilit´ e seulement si
∆t ≤ C 2 (θ)N
−4 ,
(12.25)
pour une constante C 2 (θ) ind´ ependante de N et ∆t. La diff´ erence entre (12.24)
et (12.25) est due au fait que la plus grande valeur propre de la matrice de
raideur spectrale croˆ ıt en O(N
4 ) par rapport au degr´ e du polynˆ ome d’approximation.
En comparant la solution du probl` eme totalement discr´ etis´ e (12.18) et celle
du probl` eme semi-discr´ etis´ e (12.14), en utilisant le r´ esultat de stabilit´ e (12.22)
et l’erreur de troncature en temps, on peut ´ etablir le r´ esultat de convergence
suivant
k ) − u
k
h L 2 (]0,1[) ≤ C(u 0 , f, u)(∆t
p(θ) + h
r+1 )
∀k ≥ 1,
o` u r d´ esigne le degr´ e du polynˆ ome par morceaux d´ efinissant l’espace d’´ el´ ement
finis V h , p(θ) = 1 si θ = 1/2, p(1/2) = 2 et C est une constante qui d´ epend
de ses arguments u 0 , f, u (en les supposant suffisamment r´ eguliers) mais pas
de h et ∆t. Dans le cas particulier o` u f = 0, on peut ´ etablir de meilleures
in´ egalit´ es :
k ) − u
k
h L 2 (]0,1[) ≤ C
h
√
t k
r+1
+
∆t
t k
p(θ)
0 L 2 (]0,1[) ,
pour k ≥ 1, θ = 1 ou θ = 1/2 (pour la preuve de ces r´ esultats, voir [QV94],
p. 394-395).
Le Programme 88 propose une impl´ ementation du θ-sch´ ema pour la r´ esolution
de l’´ equation de la chaleur sur le domaine ]a, b[×]t 0 , T [. La discr´ etisation en
espace se fait par ´ el´ ements finis affines par morceaux. Les param` etres d’entr´ ee
sont : le vecteur colonne I contenant les extr´ emit´ es de l’intervalle en espace
(a = I(1), b = I(2)) et de l’intervalle en temps (t 0 = I(3), T = I(4)) ; le
vecteur colonne n contenant le nombre de pas d’espace et de pas de temps ;
les macros u0 et f contenant les fonctions u 0h et f, la viscosit´ e constante
nu, les conditions aux limites de Dirichlet bc(1) et bc(2), et la valeur du
param` etre theta.