12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation de la chaleur
459
t → ∞. On s’attend donc `
a ce que la solution discr` ete ait le mˆ eme comportement. Quand c’est effectivement le cas, on dit que le sch´ ema (12.11) est
asymptotiquement stable, ce qui est coh´ erent avec ce qu’on a vu au Chapitre
10, Section 10.1, pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires.
Si θ = 0, on d´ eduit de (12.11) que
u
k = (I − ν∆tA fd )
k u
0 , k = 1, 2, . . ..
D’apr` es l’analyse des matrices convergentes (voir Section 1.11.2), on en d´ eduit
que u
k
→ 0 quand k → ∞ ssi
ρ(I − ν∆tA fd ) < 1.
(12.12)
D’autre part, les valeurs propres de A fd sont donn´ ees par (voir Exercice 3)
µ i =
4
h 2 sin
2 (iπh/2),
i= 1, . . . , n − 1.
Donc (12.12) est v´ erifi´ ee ssi
∆t <
1
2ν
h
2 .
Comme pr´ evu, la m´ ethode d’Euler explicite est conditionnellement stable, et
le pas de temps ∆t doit d´ ecroˆ ıtre comme le carr´ e du pas d’espace h.
Dans le cas de la m´ ethode d’Euler r´ etrograde (θ = 1), le sch´ ema (12.11)
s’´ ecrit
u
k =
(I + ν∆tA fd )
−1
k u
0 ,
k= 1, 2, . . ..
Comme toutes les valeurs propres de la matrice (I + ν∆tA fd )
−1 sont r´ eelles,
positives et strictement inf´ erieures ` a 1 pour tout ∆t, ce sch´ ema est inconditionnellement stable. Plus g´ en´ eralement, le θ-sch´ ema est inconditionnellement
stable si 1/2 ≤ θ ≤ 1, et conditionnellement stable si 0 ≤ θ < 1/2 (voir Section 12.3.1).
Regardons maintenant la pr´ ecision. L’erreur de troncature locale du θsch´ ema est de l’ordre de ∆t + h
2 si θ =
1
2 , et de l’ordre de ∆t
2 + h
2 si θ =
1
2 .
La m´ ethode correspondant `
a θ = 1/2 est souvent appel´ ee sch´ ema de CrankNicolson ; elle est inconditionnellement stable et du second ordre par rapport
` a ∆t et h.
12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation
de la chaleur
On peut aussi discr´ etiser (12.1)-(12.3) en espace avec une m´ ethode de Galerkin, p.ex. la m´ ethode des ´ el´ ements finis, en proc´ edant comme on l’a fait au
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t → ∞. On s’attend donc `
a ce que la solution discr` ete ait le mˆ eme comportement. Quand c’est effectivement le cas, on dit que le sch´ ema (12.11) est
asymptotiquement stable, ce qui est coh´ erent avec ce qu’on a vu au Chapitre
10, Section 10.1, pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires.
Si θ = 0, on d´ eduit de (12.11) que
u
k = (I − ν∆tA fd )
k u
0 , k = 1, 2, . . ..
D’apr` es l’analyse des matrices convergentes (voir Section 1.11.2), on en d´ eduit
que u
k
→ 0 quand k → ∞ ssi
ρ(I − ν∆tA fd ) < 1.
(12.12)
D’autre part, les valeurs propres de A fd sont donn´ ees par (voir Exercice 3)
µ i =
4
h 2 sin
2 (iπh/2),
i= 1, . . . , n − 1.
Donc (12.12) est v´ erifi´ ee ssi
∆t <
1
2ν
h
2 .
Comme pr´ evu, la m´ ethode d’Euler explicite est conditionnellement stable, et
le pas de temps ∆t doit d´ ecroˆ ıtre comme le carr´ e du pas d’espace h.
Dans le cas de la m´ ethode d’Euler r´ etrograde (θ = 1), le sch´ ema (12.11)
s’´ ecrit
u
k =
(I + ν∆tA fd )
−1
k u
0 ,
k= 1, 2, . . ..
Comme toutes les valeurs propres de la matrice (I + ν∆tA fd )
−1 sont r´ eelles,
positives et strictement inf´ erieures ` a 1 pour tout ∆t, ce sch´ ema est inconditionnellement stable. Plus g´ en´ eralement, le θ-sch´ ema est inconditionnellement
stable si 1/2 ≤ θ ≤ 1, et conditionnellement stable si 0 ≤ θ < 1/2 (voir Section 12.3.1).
Regardons maintenant la pr´ ecision. L’erreur de troncature locale du θsch´ ema est de l’ordre de ∆t + h
2 si θ =
1
2 , et de l’ordre de ∆t
2 + h
2 si θ =
1
2 .
La m´ ethode correspondant `
a θ = 1/2 est souvent appel´ ee sch´ ema de CrankNicolson ; elle est inconditionnellement stable et du second ordre par rapport
` a ∆t et h.
12.3 Approximation par ´ el´ ements finis de l’´ equation
de la chaleur
On peut aussi discr´ etiser (12.1)-(12.3) en espace avec une m´ ethode de Galerkin, p.ex. la m´ ethode des ´ el´ ements finis, en proc´ edant comme on l’a fait au