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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
Chapitre 11 dans le cas elliptique. Pour commencer, on multiplie, pour tout
t > 0, l’´ equation (12.1) par une fonction test v = v(x) et on int` egre sur ]0, 1[.
Puis, on pose V = H
1
0 (]0, 1[) et ∀t > 0, on cherche une fonction t → u(x, t) ∈ V
(en abr´ eg´ e u(t) ∈ V ) telle que
1
0
∂u(t)
∂t
vdx + a(u(t), v) = F (v)
∀v ∈ V,
(12.13)
avec u(0) = u 0 , et o` u a(u(t), v) =
1
0
ν(∂u(t)/∂x) (∂v/∂x) dx et F (v) =
1
0
f(t)vdx sont respectivement des formes bilin´ eaire et lin´ eaire, associ´ ees ` a
l’op´ erateur elliptique L et au second membre f. Remarquer que a(·, ·) est un
cas particulier de (11.40). Dor´ enavant, nous sous-entendrons le fait que u et
f d´ ependent de x.
Soit V h un sous-espace de V de dimension finie. On consid` ere le probl` eme
de Galerkin suivant : ∀t > 0, trouver u h (t) ∈ V h tel que
1
0
∂u h (t)
∂t
v h dx + a(u h (t), v h ) = F (v h ) ∀v h ∈ V h ,
(12.14)
o` u u h (0) = u 0h et u 0h ∈ V h est une approximation convenable de u 0 . On dit
que le probl` eme (12.14) est une semi-discr´ etisation de (12.13), car seule la
variable d’espace a ´ et´ e discr´ etis´ ee.
En proc´ edant comme pour l’estimation d’´ energie (12.8), on obtient l’estimation a priori suivante de la solution discr` ete u h (t) de (12.14)
E h (t) ≤ e
−γt E h (0) +
1
γ
t
0
e
γ(s−t) F (s)ds,
o` u E h (t) =
1
0 u
2
h (x, t) dx.
Comme pour la discr´ etisation par ´ el´ ements finis de (12.14), on introduit
l’espace d’´ el´ ements finis V h d´ efini en (11.53) et une base {ϕ j } de V h comme
` a la Section 11.3.5. On peut alors chercher la solution u h de (12.14) sous la
forme
u h (t) =
Nh
j=1
u j (t)ϕ j ,
o` u les {u j (t)} sont des coefficients inconnus et o` u N h est la dimension de V h .
On d´ eduit alors de (12.14)
1
0
Nh
j=1
. u j (t)ϕ j ϕ i dx + a
⎛
⎝
Nh
j=1
u j (t)ϕ j , ϕ i
⎞
⎠ = F (ϕ i ),
i= 1, . . ., N h
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
Chapitre 11 dans le cas elliptique. Pour commencer, on multiplie, pour tout
t > 0, l’´ equation (12.1) par une fonction test v = v(x) et on int` egre sur ]0, 1[.
Puis, on pose V = H
1
0 (]0, 1[) et ∀t > 0, on cherche une fonction t → u(x, t) ∈ V
(en abr´ eg´ e u(t) ∈ V ) telle que
1
0
∂u(t)
∂t
vdx + a(u(t), v) = F (v)
∀v ∈ V,
(12.13)
avec u(0) = u 0 , et o` u a(u(t), v) =
1
0
ν(∂u(t)/∂x) (∂v/∂x) dx et F (v) =
1
0
f(t)vdx sont respectivement des formes bilin´ eaire et lin´ eaire, associ´ ees ` a
l’op´ erateur elliptique L et au second membre f. Remarquer que a(·, ·) est un
cas particulier de (11.40). Dor´ enavant, nous sous-entendrons le fait que u et
f d´ ependent de x.
Soit V h un sous-espace de V de dimension finie. On consid` ere le probl` eme
de Galerkin suivant : ∀t > 0, trouver u h (t) ∈ V h tel que
1
0
∂u h (t)
∂t
v h dx + a(u h (t), v h ) = F (v h ) ∀v h ∈ V h ,
(12.14)
o` u u h (0) = u 0h et u 0h ∈ V h est une approximation convenable de u 0 . On dit
que le probl` eme (12.14) est une semi-discr´ etisation de (12.13), car seule la
variable d’espace a ´ et´ e discr´ etis´ ee.
En proc´ edant comme pour l’estimation d’´ energie (12.8), on obtient l’estimation a priori suivante de la solution discr` ete u h (t) de (12.14)
E h (t) ≤ e
−γt E h (0) +
1
γ
t
0
e
γ(s−t) F (s)ds,
o` u E h (t) =
1
0 u
2
h (x, t) dx.
Comme pour la discr´ etisation par ´ el´ ements finis de (12.14), on introduit
l’espace d’´ el´ ements finis V h d´ efini en (11.53) et une base {ϕ j } de V h comme
` a la Section 11.3.5. On peut alors chercher la solution u h de (12.14) sous la
forme
u h (t) =
Nh
j=1
u j (t)ϕ j ,
o` u les {u j (t)} sont des coefficients inconnus et o` u N h est la dimension de V h .
On d´ eduit alors de (12.14)
1
0
Nh
j=1
. u j (t)ϕ j ϕ i dx + a
⎛
⎝
Nh
j=1
u j (t)ϕ j , ϕ i
⎞
⎠ = F (ϕ i ),
i= 1, . . ., N h