458
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
12.2 Approximation par diff´ erences finies de l’´ equation
de la chaleur
Il faut, pour r´ esoudre num´ eriquement l’´ equation de la chaleur, discr´ etiser ` a
la fois en x et en t. Commen¸ cons par la variable x en proc´ edant comme ` a la
Section 11.2. On note u i (t) une approximation de u(x i , t), i = 0, . . . , n, et on
approche le probl` eme de Dirichlet (12.1)-(12.3) par le sch´ ema
. u i (t) −
ν
h 2 (u i−1 (t) − 2u i (t) + u i+1 (t)) = f i (t), i = 1, . . ., n − 1, ∀t > 0,
u 0 (t) = u n (t) = 0
∀t > 0,
u i (0) = u 0 (x i ),
i = 0, . . ., n,
o` u le point plac´ e au dessus d’une fonction d´ esigne la d´ erivation par rapport
au temps, et o` u f i (t) = f(x i , t). Ceci constitue ce qu’on appelle une semidiscr´ etisation du probl` eme (12.1)-(12.3). C’est un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires de la forme
˙
u(t) = −νA fd u(t) + f (t) ∀t > 0,
u(0) = u 0 ,
(12.9)
o` u u(t) = [u 1 (t), . . . , u n−1 (t)]
T est le vecteur des inconnues, f (t) = [f 1 (t),
. . . , f n−1 (t)]
T , u 0 = [u 0 (x 1 ), . . . , u 0 (x n−1 )]
T et A fd est la matrice tridiagonale
introduite en (11.8). Remarquer que pour ´ etablir (12.9) on a suppos´ e que
u 0 (x 0 ) = u 0 (x n ) = 0, ce qui est coh´ erent avec la condition aux limites (12.2).
Pour int´ egrer en temps (12.9), on peut utiliser une m´ ethode c´ el` ebre appel´ ee
θ−sch´ ema. On note v
k la valeur de la variable v au temps t
k = k∆t, pour
∆t > 0 ; le θ-sch´ ema appliqu´ e ` a (12.9) s’´ ecrit alors
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
k+1
− u
k
∆t
= −νA fd (θu
k+1 + (1 − θ)u
k ) + θf
k+1 + (1 − θ)f
k ,
k = 0, 1, . . .
u
0 = u 0 ,
(12.10)
ou de mani` ere ´ equivalente,
(I + νθ∆tA fd ) u
k+1 = (I − ν(1 − θ)∆tA fd ) u
k + g
k+1 ,
(12.11)
o` u g
k+1 = ∆t(θf
k+1 + (1 − θ)f
k ) et I est la matrice identit´ e d’ordre n − 1.
Pour certaines valeurs de θ, on retrouve des m´ ethodes usuelles introduites
au Chapitre 10. Par exemple, si θ = 0, (12.11) correspond au sch´ ema d’Euler
progressif et u
k+1 s’obtient de mani` ere explicite ; dans les autres cas, un syst` eme lin´ eaire (associ´ e ` a une matrice constante I + νθ∆tA fd ) doit ˆ etre r´ esolu ` a
chaque pas de temps.
Pour ´ etudier la stabilit´ e, supposons que f = 0 (donc g
k = 0 ∀k > 0).
D’apr` es (12.5) la solution exacte u(x, t) tend vers z´ ero pour tout x quand
12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
12.2 Approximation par diff´ erences finies de l’´ equation
de la chaleur
Il faut, pour r´ esoudre num´ eriquement l’´ equation de la chaleur, discr´ etiser ` a
la fois en x et en t. Commen¸ cons par la variable x en proc´ edant comme ` a la
Section 11.2. On note u i (t) une approximation de u(x i , t), i = 0, . . . , n, et on
approche le probl` eme de Dirichlet (12.1)-(12.3) par le sch´ ema
. u i (t) −
ν
h 2 (u i−1 (t) − 2u i (t) + u i+1 (t)) = f i (t), i = 1, . . ., n − 1, ∀t > 0,
u 0 (t) = u n (t) = 0
∀t > 0,
u i (0) = u 0 (x i ),
i = 0, . . ., n,
o` u le point plac´ e au dessus d’une fonction d´ esigne la d´ erivation par rapport
au temps, et o` u f i (t) = f(x i , t). Ceci constitue ce qu’on appelle une semidiscr´ etisation du probl` eme (12.1)-(12.3). C’est un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires de la forme
˙
u(t) = −νA fd u(t) + f (t) ∀t > 0,
u(0) = u 0 ,
(12.9)
o` u u(t) = [u 1 (t), . . . , u n−1 (t)]
T est le vecteur des inconnues, f (t) = [f 1 (t),
. . . , f n−1 (t)]
T , u 0 = [u 0 (x 1 ), . . . , u 0 (x n−1 )]
T et A fd est la matrice tridiagonale
introduite en (11.8). Remarquer que pour ´ etablir (12.9) on a suppos´ e que
u 0 (x 0 ) = u 0 (x n ) = 0, ce qui est coh´ erent avec la condition aux limites (12.2).
Pour int´ egrer en temps (12.9), on peut utiliser une m´ ethode c´ el` ebre appel´ ee
θ−sch´ ema. On note v
k la valeur de la variable v au temps t
k = k∆t, pour
∆t > 0 ; le θ-sch´ ema appliqu´ e ` a (12.9) s’´ ecrit alors
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u
k+1
− u
k
∆t
= −νA fd (θu
k+1 + (1 − θ)u
k ) + θf
k+1 + (1 − θ)f
k ,
k = 0, 1, . . .
u
0 = u 0 ,
(12.10)
ou de mani` ere ´ equivalente,
(I + νθ∆tA fd ) u
k+1 = (I − ν(1 − θ)∆tA fd ) u
k + g
k+1 ,
(12.11)
o` u g
k+1 = ∆t(θf
k+1 + (1 − θ)f
k ) et I est la matrice identit´ e d’ordre n − 1.
Pour certaines valeurs de θ, on retrouve des m´ ethodes usuelles introduites
au Chapitre 10. Par exemple, si θ = 0, (12.11) correspond au sch´ ema d’Euler
progressif et u
k+1 s’obtient de mani` ere explicite ; dans les autres cas, un syst` eme lin´ eaire (associ´ e ` a une matrice constante I + νθ∆tA fd ) doit ˆ etre r´ esolu ` a
chaque pas de temps.
Pour ´ etudier la stabilit´ e, supposons que f = 0 (donc g
k = 0 ∀k > 0).
D’apr` es (12.5) la solution exacte u(x, t) tend vers z´ ero pour tout x quand