12.1 Equation de la chaleur
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En effet, en multipliant (12.1) par u et en int´ egrant par rapport `
a x sur
l’intervalle [0, 1], on obtient
1
0
∂u
∂t
(x, t)u(x, t) dx − ν
1
0
∂
2 u
∂x 2 (x, t)u(x, t) dx =
1
2
1
0
∂u
2
∂t
(x, t) dx
+ ν
1
0
∂u
∂x
(x, t)
2
dx − ν
∂u
∂x
(x, t)u(x, t)
x=1
x=0
=
1
2
E
(t) + ν
1
0
∂u
∂x
(x, t)
2
dx,
o` u on a int´ egr´ e par parties, utilis´ e les conditions aux limites (12.2) ou (12.6),
et interverti d´ erivation et int´ egration. L’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (9.4)
donne
1
0
f(x, t)u(x, t) dx ≤
F (t)
E(t),
o` u F (t) =
1
0
f
2 (x, t) dx. Donc
E
(t) + 2ν
1
0
∂u
∂x
(x, t)
2
dx ≤ 2
F (t)
E(t).
Avec l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (11.16) sur ]a, b[=]0, 1[, on obtient
E
(t) + 2
ν
(C P ) 2 E(t) ≤ 2
F (t)
E(t).
L’in´ egalit´ e de Young
ab ≤ εa
2 +
1
4ε
b
2 ,
∀a, b ∈ R, ∀ε > 0,
(12.7)
donne
2
F (t)
E(t) ≤ γE(t) +
1
γ
F (t),
o` u on a pos´ e γ = ν/C
2
P . Donc, E
(t) + γE(t) ≤
1
γ F (t), ou, de mani` ere ´ equivalente, (e
γt E(t))
≤
1
γ e
γt F (t). Ainsi, en int´ egrant de 0 `
a t, on obtient
E(t) ≤ e
−γt E(0) +
1
γ
t
0
e
γ(s−t) F (s)ds.
(12.8)
En particulier, quand f = 0, (12.8) montre que l’´ energie E(t) d´ ecroˆ ıt exponentiellement vite en temps.