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12 Probl` emes transitoires paraboliques et hyperboliques
unit´ e de masse c p sont toutes les deux constantes et ´ egales ` a un. Dans le
cas contraire, il faudrait multiplier la d´ eriv´ ee temporelle ∂u/∂t par ρc p dans
(12.1).
On peut ´ ecrire la solution du probl` eme (12.1)-(12.3) sous la forme d’une
s´ erie de Fourier. Par exemple, si ν = 1 et f = 0, elle est donn´ ee par
u(x, t) =
∞
n=1
c n e
−(nπ)
2 t sin(nπx),
(12.5)
o` u les c n sont les coefficients de Fourier de la donn´ ee initiale u 0 (x) associ´ es
au sinus, c’est-` a-dire
c n = 2
1
0
u 0 (x) sin(nπx) dx, n = 1, 2 . . ..
Si, au lieu de (12.2), on consid` ere les conditions de Neumann
u x (0, t) = u x (1, t) = 0,
t>0,
(12.6)
la solution correspondante (toujours dans le cas ν = 1 et f = 0) serait donn´ ee
par
u(x, t) =
d 0
2
+
∞
n=1
d n e
−(nπ)
2 t cos(nπx),
o` u les d n sont les coefficients de Fourier de la donn´ ee initiale u 0 (x) associ´ es
au cosinus, c’est-` a-dire
d n = 2
1
0
u 0 (x) cos(nπx) dx, n = 1, 2 . . ..
Ces expressions montrent que la solution a une d´ ecroissance exponentielle en
temps. On peut aussi ´ etablir un r´ esultat sur le comportement en temps de
l’´ energie
E(t) =
1
0
u
2 (x, t) dx.