12
Probl` emes transitoires paraboliques et
hyperboliques
Ce chapitre est consacr´ e ` a l’approximation d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
d´ ependant du temps. On consid´ erera des probl` emes paraboliques et hyperboliques qu’on discr´ etisera soit par diff´ erences finies soit par ´ el´ ements finis.
12.1 Equation de la chaleur
On s’int´ eresse ` a la recherche d’une fonction u = u(x, t), pour x ∈ [0, 1] et
t > 0, qui satisfait l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles
∂u
∂t
+ Lu = f, 0 < x < 1, t > 0,
(12.1)
soumise aux conditions aux limites
u(0, t) = u(1, t) = 0,
t>0,
(12.2)
et ` a la donn´ ee initiale
u(x, 0) = u 0 (x),
0 ≤ x ≤ 1.
(12.3)
L’op´ erateur diff´ erentiel L est d´ efini par
Lu = −ν
∂
2 u
∂x 2 .
(12.4)
L’´ equation (12.1) est appel´ ee ´ equation de la chaleur. La quantit´ e u(x, t) peut
en effet d´ ecrire la temp´ erature au point x et au temps t d’une barre m´ etallique
qui occupe l’intervalle [0, 1], et ayant les propri´ et´ es suivantes : sa conductivit´ e
thermique est constante et ´ egale ` a ν > 0 ; ses extr´ emit´ es sont maintenues ` a une
temp´ erature de z´ ero degr´ e ; au temps t = 0 sa temp´ erature en un point x est
donn´ ee par u 0 (x) ; enfin la barre est soumise `
a une source de chaleur de densit´ e
lin´ eique f(x, t). On suppose ici que la densit´ e ρ et la capacit´ e calorifique par
Probl` emes transitoires paraboliques et
hyperboliques
Ce chapitre est consacr´ e ` a l’approximation d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles
d´ ependant du temps. On consid´ erera des probl` emes paraboliques et hyperboliques qu’on discr´ etisera soit par diff´ erences finies soit par ´ el´ ements finis.
12.1 Equation de la chaleur
On s’int´ eresse ` a la recherche d’une fonction u = u(x, t), pour x ∈ [0, 1] et
t > 0, qui satisfait l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles
∂u
∂t
+ Lu = f, 0 < x < 1, t > 0,
(12.1)
soumise aux conditions aux limites
u(0, t) = u(1, t) = 0,
t>0,
(12.2)
et ` a la donn´ ee initiale
u(x, 0) = u 0 (x),
0 ≤ x ≤ 1.
(12.3)
L’op´ erateur diff´ erentiel L est d´ efini par
Lu = −ν
∂
2 u
∂x 2 .
(12.4)
L’´ equation (12.1) est appel´ ee ´ equation de la chaleur. La quantit´ e u(x, t) peut
en effet d´ ecrire la temp´ erature au point x et au temps t d’une barre m´ etallique
qui occupe l’intervalle [0, 1], et ayant les propri´ et´ es suivantes : sa conductivit´ e
thermique est constante et ´ egale ` a ν > 0 ; ses extr´ emit´ es sont maintenues ` a une
temp´ erature de z´ ero degr´ e ; au temps t = 0 sa temp´ erature en un point x est
donn´ ee par u 0 (x) ; enfin la barre est soumise `
a une source de chaleur de densit´ e
lin´ eique f(x, t). On suppose ici que la densit´ e ρ et la capacit´ e calorifique par