11.5 Exercices
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que LhG = 0 en chaque noeud xl pour l = 0, . . . , k − 1 et l = k + 1, . . . , n + 1.
Enfin, un calcul direct montre que (LhG)(xk) = 1/h ce qui ach` eve la preuve.]
7. Poser g = 1 et prouver que Thg(xj ) =
1
2 xj(1 − xj).
[Solution : utiliser la d´ efinition (11.26) avec g(xk) = 1, k = 1, . . . , n−1 et utiliser
G
k (xj) = hG(xj, xk) (d’apr` es l’exercice ci-dessus). Puis
Thg(xj ) = h
⎡
⎣
j
k=1
xk(1 − xj) +
n−1
k=j+1
xj(1 − xk)
⎤
⎦
d’o` u on d´ eduit, apr` es quelques calculs, le r´ esultat voulu.]
8. Montrer l’in´ egalit´ e de Young (12.7).
9. Montrer que vhh ≤ ≤vhh,∞ ∀vh ∈ Vh.
10. On consid` ere le probl` eme aux limites 1D (11.30) avec les conditions aux limites
suivantes
λ0u(0) + µ0u(0) = g0,
λ1u(1) + µ1u(1) = g1,
o` u λj , µj et gj sont donn´ es (j = 0, 1). En utilisant la technique du miroir d´ ecrite
` a la Section 11.2.3, ´ ecrire la discr´ etisation par diff´ erences finies des ´ equations
correspondant aux noeuds x0 et xn.
[Solution :
noeud x0 :
α 1/2
h 2 +
γ0
2
+
α0λ0
µ0h
u0 − α 1/2
u1
h 2 =
α0g0
µ0h
+
f0
2
,
noeud xn :
α n−1/2
h 2 +
γn
2
+
αnλ1
µ1h
un − α n−1/2
un−1
h 2 =
αng1
µ1h
+
fn
2
.]
11. Discr´ etiser l’op´ erateur diff´ erentiel du quatri` eme ordre Lu(x) = −u
(iv) (x) en
utilisant des diff´ erences finies centr´ ees.
[Solution : appliquer deux fois l’op´ erateur de diff´ erences finies centr´ ees Lh d´ efini
en (11.9).]
12. On consid` ere le probl` eme (11.37) avec conditions aux limites de Neumann non
homog` enes αu
(0) = w0, αu
(1) = w1. Montrer que la solution satisfait le
probl` eme (11.39) avec V = H
1 (]0, 1[) et le second membre remplac´ e par (f, v) +
w1v(1) − w0v(0). Etablir la formulation dans le cas de conditions aux limites
mixtes αu
(0) = w0, u(1) = u1.
13. Montrer que la matrice Afd dont les coefficients sont donn´ es par (11.69) est
sym´ etrique d´ efinie positive et que c’est une M-matrice. [Solution : pour montrer
que Afd est d´ efinie positive, proc´ eder comme dans la preuve de la Section 11.2,
puis comme dans l’Exercice 2.]
14. Montrer la formule de Green (11.71).
[Solution : pour commencer, remarquer que pour tout u, v assez r´ eguliers,
div(v∇u) = vu + ∇u · ∇v. Puis, int´ egrer cette relation sur Ω et utiliser le
th´ eor` eme de la divergence
Ω
div(v∇u) dxdy =
∂Ω
∂u
∂n
v dγ.]
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que LhG = 0 en chaque noeud xl pour l = 0, . . . , k − 1 et l = k + 1, . . . , n + 1.
Enfin, un calcul direct montre que (LhG)(xk) = 1/h ce qui ach` eve la preuve.]
7. Poser g = 1 et prouver que Thg(xj ) =
1
2 xj(1 − xj).
[Solution : utiliser la d´ efinition (11.26) avec g(xk) = 1, k = 1, . . . , n−1 et utiliser
G
k (xj) = hG(xj, xk) (d’apr` es l’exercice ci-dessus). Puis
Thg(xj ) = h
⎡
⎣
j
k=1
xk(1 − xj) +
n−1
k=j+1
xj(1 − xk)
⎤
⎦
d’o` u on d´ eduit, apr` es quelques calculs, le r´ esultat voulu.]
8. Montrer l’in´ egalit´ e de Young (12.7).
9. Montrer que vhh ≤ ≤vhh,∞ ∀vh ∈ Vh.
10. On consid` ere le probl` eme aux limites 1D (11.30) avec les conditions aux limites
suivantes
λ0u(0) + µ0u(0) = g0,
λ1u(1) + µ1u(1) = g1,
o` u λj , µj et gj sont donn´ es (j = 0, 1). En utilisant la technique du miroir d´ ecrite
` a la Section 11.2.3, ´ ecrire la discr´ etisation par diff´ erences finies des ´ equations
correspondant aux noeuds x0 et xn.
[Solution :
noeud x0 :
α 1/2
h 2 +
γ0
2
+
α0λ0
µ0h
u0 − α 1/2
u1
h 2 =
α0g0
µ0h
+
f0
2
,
noeud xn :
α n−1/2
h 2 +
γn
2
+
αnλ1
µ1h
un − α n−1/2
un−1
h 2 =
αng1
µ1h
+
fn
2
.]
11. Discr´ etiser l’op´ erateur diff´ erentiel du quatri` eme ordre Lu(x) = −u
(iv) (x) en
utilisant des diff´ erences finies centr´ ees.
[Solution : appliquer deux fois l’op´ erateur de diff´ erences finies centr´ ees Lh d´ efini
en (11.9).]
12. On consid` ere le probl` eme (11.37) avec conditions aux limites de Neumann non
homog` enes αu
(0) = w0, αu
(1) = w1. Montrer que la solution satisfait le
probl` eme (11.39) avec V = H
1 (]0, 1[) et le second membre remplac´ e par (f, v) +
w1v(1) − w0v(0). Etablir la formulation dans le cas de conditions aux limites
mixtes αu
(0) = w0, u(1) = u1.
13. Montrer que la matrice Afd dont les coefficients sont donn´ es par (11.69) est
sym´ etrique d´ efinie positive et que c’est une M-matrice. [Solution : pour montrer
que Afd est d´ efinie positive, proc´ eder comme dans la preuve de la Section 11.2,
puis comme dans l’Exercice 2.]
14. Montrer la formule de Green (11.71).
[Solution : pour commencer, remarquer que pour tout u, v assez r´ eguliers,
div(v∇u) = vu + ∇u · ∇v. Puis, int´ egrer cette relation sur Ω et utiliser le
th´ eor` eme de la divergence
Ω
div(v∇u) dxdy =
∂Ω
∂u
∂n
v dγ.]