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11 Probl` emes aux limites en dimension un
o` u {ϕ j }
N
j=1 est une base de V h . Comme exemple de telles bases, on peut
consid´ erer pour k = 1, celle engendr´ ee par les fonctions chapeau introduites
` a la Section 7.5.2 (voir Figure 7.7, ` a droite). La m´ ethode des ´ el´ ements finis
conduit `
a la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire A fe u = f , o` u (a fe ) ij = a(ϕ j , ϕ i ).
Tout comme dans le cas monodimensionnel, la matrice A fe est sym´ etrique
d´ efinie positive et, en g´ en´ eral, creuse. La structure creuse d´ epend fortement
de la topologie de T h et de la num´ erotation de ses noeuds. De plus, le conditionnement spectral de A fe est encore en O(h
−2 ). Par cons´ equent, quand on
utilise des m´ ethodes it´ eratives pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire, il est n´ ecessaire de recourir `
a de bons pr´ econditionneurs (voir Section 4.3.2). En revanche,
si on utilise des m´ ethodes directes, il est surtout important de proc´ eder ` a une
renum´ erotation convenable des noeuds (voir [QSS07]).
11.5 Exercices
1. Consid´ erons le probl` eme aux limites (11.1)-(11.2) avec f (x) = 1/x. En utilisant
(11.3) prouver que u(x) = −x log(x). V´ erifier que u ∈ C
2 (]0, 1[), que u(0) n’est
pas d´ efini et que u
, u
n’existent pas en x = 0 (autrement dit, si f ∈ C
0 (]0, 1[)
et f /
∈ C
0 ([0, 1]), alors u n’appartient pas `
a C
0 ([0, 1])).
2. Montrer que la matrice Afd introduite en (11.8) est une M-matrice.
[Indication : v´ erifier que Afdx ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. Pour cela, pour α > 0 poser Afd,α =
Afd + αIn−1. Puis calculer w = Afd,αx et montrer que min 1≤i≤(n−1) wi ≥
0. Enfin, comme la matrice Afd,α est inversible (puisqu’elle est sym´ etrique et
d´ efinie positive) et comme les coefficients de A
−1
fd,α sont des fonctions continues
de α ≥ 0, on en d´ eduit que A
−1
fd,α est une matrice positive quand α → 0.]
3. Montrer que (11.13) d´ efinit une norme sur V
0
h .
4. Montrer (11.15) par r´ ecurrence sur m.
5. Montrer l’estimation (11.24).
[Indication : pour chaque noeud interne xj, j = 1, . . . , n− 1, int´ egrer par parties
(11.22) pour obtenir
τh(xj)
= −u
(xj) −
1
h 2
⎡
⎢
⎣
x j
x j −h
u
(t)(xj − h − t)
2 dt −
x j +h
x j
u
(t)(xj + h − t)
2 dt
⎤
⎥
⎦ .
Puis, ´ elever au carr´ e et sommer τh(xj)
2 pour j = 1, . . . , n − 1. Remarquer que
(a + b + c)
2 ≤ 3(a
2 + b
2 + c
2 ) pour tous r´ eels a, b, c, et appliquer l’in´ egalit´ e de
Cauchy-Schwarz.]
6. Montrer que G
k (xj) = hG(xj, xk), o` u G est la fonction de Green introduite en
(11.4) et G
k son analogue discret solution de (11.4).
[Solution : on montre le r´ esultat en v´ erifiant que LhG = he
k . En effet, pour un
xk fix´ e, la fonction G(xk, s) est affine sur les intervalles [0, xk] et [xk, 1] de sorte
11 Probl` emes aux limites en dimension un
o` u {ϕ j }
N
j=1 est une base de V h . Comme exemple de telles bases, on peut
consid´ erer pour k = 1, celle engendr´ ee par les fonctions chapeau introduites
` a la Section 7.5.2 (voir Figure 7.7, ` a droite). La m´ ethode des ´ el´ ements finis
conduit `
a la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire A fe u = f , o` u (a fe ) ij = a(ϕ j , ϕ i ).
Tout comme dans le cas monodimensionnel, la matrice A fe est sym´ etrique
d´ efinie positive et, en g´ en´ eral, creuse. La structure creuse d´ epend fortement
de la topologie de T h et de la num´ erotation de ses noeuds. De plus, le conditionnement spectral de A fe est encore en O(h
−2 ). Par cons´ equent, quand on
utilise des m´ ethodes it´ eratives pour r´ esoudre le syst` eme lin´ eaire, il est n´ ecessaire de recourir `
a de bons pr´ econditionneurs (voir Section 4.3.2). En revanche,
si on utilise des m´ ethodes directes, il est surtout important de proc´ eder ` a une
renum´ erotation convenable des noeuds (voir [QSS07]).
11.5 Exercices
1. Consid´ erons le probl` eme aux limites (11.1)-(11.2) avec f (x) = 1/x. En utilisant
(11.3) prouver que u(x) = −x log(x). V´ erifier que u ∈ C
2 (]0, 1[), que u(0) n’est
pas d´ efini et que u
, u
n’existent pas en x = 0 (autrement dit, si f ∈ C
0 (]0, 1[)
et f /
∈ C
0 ([0, 1]), alors u n’appartient pas `
a C
0 ([0, 1])).
2. Montrer que la matrice Afd introduite en (11.8) est une M-matrice.
[Indication : v´ erifier que Afdx ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. Pour cela, pour α > 0 poser Afd,α =
Afd + αIn−1. Puis calculer w = Afd,αx et montrer que min 1≤i≤(n−1) wi ≥
0. Enfin, comme la matrice Afd,α est inversible (puisqu’elle est sym´ etrique et
d´ efinie positive) et comme les coefficients de A
−1
fd,α sont des fonctions continues
de α ≥ 0, on en d´ eduit que A
−1
fd,α est une matrice positive quand α → 0.]
3. Montrer que (11.13) d´ efinit une norme sur V
0
h .
4. Montrer (11.15) par r´ ecurrence sur m.
5. Montrer l’estimation (11.24).
[Indication : pour chaque noeud interne xj, j = 1, . . . , n− 1, int´ egrer par parties
(11.22) pour obtenir
τh(xj)
= −u
(xj) −
1
h 2
⎡
⎢
⎣
x j
x j −h
u
(t)(xj − h − t)
2 dt −
x j +h
x j
u
(t)(xj + h − t)
2 dt
⎤
⎥
⎦ .
Puis, ´ elever au carr´ e et sommer τh(xj)
2 pour j = 1, . . . , n − 1. Remarquer que
(a + b + c)
2 ≤ 3(a
2 + b
2 + c
2 ) pour tous r´ eels a, b, c, et appliquer l’in´ egalit´ e de
Cauchy-Schwarz.]
6. Montrer que G
k (xj) = hG(xj, xk), o` u G est la fonction de Green introduite en
(11.4) et G
k son analogue discret solution de (11.4).
[Solution : on montre le r´ esultat en v´ erifiant que LhG = he
k . En effet, pour un
xk fix´ e, la fonction G(xk, s) est affine sur les intervalles [0, xk] et [xk, 1] de sorte