11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel
451
Pour la forme bilin´ eaire a(·, ·), des manipulations du mˆ eme type que celles
de la Section 11.3.1 conduisent `
a
a(u h , v h ) =
Ω
∇u h · ∇v h dxdy,
o` u on a utilis´ e la formule de Green suivante qui g´ en´ eralise la formule d’int´ egration par parties :
Ω
− −u v dxdy =
Ω
∇u · ∇v dxdy −
∂Ω
∇u · n v dγ,
(11.71)
pour toutes fonctions u, v assez r´ eguli` eres et o` u n est la normale sortante sur
∂Ω (voir Exercice 14).
L’analyse de l’erreur de la m´ ethode des ´ el´ ements finis en dimension 2 de
(11.66) se fait encore en combinant le lemme de C´ ea et des estimations d’erreur
d’interpolation, comme `
a la Section 11.3.5. Le r´ esultat suivant est l’analogue
en dimension 2 de la Propri´ et´ e 11.1 (pour la preuve, voir p.ex. [QV94], Th´ eor` eme 6.2.1).
Propri´ et´ e 11.2 Soit u ∈ H
1
0 (Ω) la solution faible exacte de (11.66) et u h ∈ V h
son approximation obtenue par ´ el´ ements finis construits avec des fonctions
continues, polynomiales par morceaux de degr´ e k ≥ 1. On suppose que u ∈
H
s (Ω) pour un s ≥ 2. On a alors l’estimation d’erreur suivante :
− u h H 1 0 (Ω) ≤
M
α 0
Ch
l
H l+1 (Ω) ,
(11.72)
o` u l = min(k, s − 1). Sous les mˆ emes hypoth` eses, on peut aussi montrer :
− u h L 2 (Ω) ≤ Ch
l+1
u H l+1 (Ω) .
(11.73)
Pour tout entier s ≥ 0, l’espace de Sobolev H
s (Ω) introduit ci-dessus est d´ efini comme l’espace des fonctions dont les d´ eriv´ ees partielles d’ordre au plus s
(au sens des distributions) appartiennent `
a l’espace L
2 (Ω). L’espace H
1
0 (Ω) est
l’espace des fonctions de H
1 (Ω) telles que u = 0 sur ∂Ω. Il faudrait d´ etailler
davantage le sens math´ ematique pr´ ecis de cette derni` ere propri´ et´ e, une fonction de H
1
0 (Ω) n’´ etant g´ en´ eralement pas continue (en dimension strictement
sup´ erieure ` a 1). Pour une pr´ esentation compl` ete et l’analyse des espaces de
Sobolev, nous renvoyons `
a [Ada75] et [LM68].
En proc´ edant comme ` a la Section 11.3.3, on peut ´ ecrire la solution ´ el´ ements
finis u h de la mani` ere suivante :
u h (x, y) =
N
j=1
u j ϕ j (x, y),
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Pour la forme bilin´ eaire a(·, ·), des manipulations du mˆ eme type que celles
de la Section 11.3.1 conduisent `
a
a(u h , v h ) =
Ω
∇u h · ∇v h dxdy,
o` u on a utilis´ e la formule de Green suivante qui g´ en´ eralise la formule d’int´ egration par parties :
Ω
− −u v dxdy =
Ω
∇u · ∇v dxdy −
∂Ω
∇u · n v dγ,
(11.71)
pour toutes fonctions u, v assez r´ eguli` eres et o` u n est la normale sortante sur
∂Ω (voir Exercice 14).
L’analyse de l’erreur de la m´ ethode des ´ el´ ements finis en dimension 2 de
(11.66) se fait encore en combinant le lemme de C´ ea et des estimations d’erreur
d’interpolation, comme `
a la Section 11.3.5. Le r´ esultat suivant est l’analogue
en dimension 2 de la Propri´ et´ e 11.1 (pour la preuve, voir p.ex. [QV94], Th´ eor` eme 6.2.1).
Propri´ et´ e 11.2 Soit u ∈ H
1
0 (Ω) la solution faible exacte de (11.66) et u h ∈ V h
son approximation obtenue par ´ el´ ements finis construits avec des fonctions
continues, polynomiales par morceaux de degr´ e k ≥ 1. On suppose que u ∈
H
s (Ω) pour un s ≥ 2. On a alors l’estimation d’erreur suivante :
− u h H 1 0 (Ω) ≤
M
α 0
Ch
l
H l+1 (Ω) ,
(11.72)
o` u l = min(k, s − 1). Sous les mˆ emes hypoth` eses, on peut aussi montrer :
− u h L 2 (Ω) ≤ Ch
l+1
u H l+1 (Ω) .
(11.73)
Pour tout entier s ≥ 0, l’espace de Sobolev H
s (Ω) introduit ci-dessus est d´ efini comme l’espace des fonctions dont les d´ eriv´ ees partielles d’ordre au plus s
(au sens des distributions) appartiennent `
a l’espace L
2 (Ω). L’espace H
1
0 (Ω) est
l’espace des fonctions de H
1 (Ω) telles que u = 0 sur ∂Ω. Il faudrait d´ etailler
davantage le sens math´ ematique pr´ ecis de cette derni` ere propri´ et´ e, une fonction de H
1
0 (Ω) n’´ etant g´ en´ eralement pas continue (en dimension strictement
sup´ erieure ` a 1). Pour une pr´ esentation compl` ete et l’analyse des espaces de
Sobolev, nous renvoyons `
a [Ada75] et [LM68].
En proc´ edant comme ` a la Section 11.3.3, on peut ´ ecrire la solution ´ el´ ements
finis u h de la mani` ere suivante :
u h (x, y) =
N
j=1
u j ϕ j (x, y),