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11 Probl` emes aux limites en dimension un
x ij x i,j+1
x i+1,j
x i,j−1
x i−1,j
Fig. 11.7. A gauche : grille de diff´ erences finies et stencil pour un domaine carr´ e.
A droite : triangulation ´ el´ ements finis d’une r´ egion entourant un trou
Le sch´ ema r´ esultant est connu sous le nom de discr´ etisation ` a cinq points
du laplacien. Il est facile (et utile) de v´ erifier en exercice que la matrice associ´ ee
A fd a (N − 1)
2 lignes, est pentadiagonale, et que sa i-` eme ligne est donn´ ee par
(a fd ) ij =
1
h 2
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
4 si j = i,
−1 si j = i − N − 1, i − 1, i + 1, i + N + 1,
0 sinon.
(11.69)
De plus, A fd est sym´ etrique d´ efinie positive et est une M-matrice (voir Exercice 13). Sans surprise, l’erreur de consistance associ´ ee ` a (11.68) est du second
ordre en h. Il en est de mˆ eme de l’erreur de discr´ etisation u − u h h,∞ de la
m´ ethode. On peut consid´ erer des conditions aux limites plus g´ en´ erales qu’en
(11.66) en ´ etendant au cas bidimensionnel la technique du miroir d´ ecrite ` a
la Section 11.2.3 et dans l’Exercice 10 (pour une discussion compl` ete sur ce
sujet, voir p.ex. [Smi85]).
La m´ ethode de Galerkin se g´ en´ eralise encore plus facilement (au moins
formellement). En effet, elle s’´ ecrit exactement de la mˆ eme mani` ere qu’en
(11.42), avec naturellement un espace fonctionnel V h et une forme bilin´ eaire
a(·, ·) adapt´ es au probl` eme consid´ er´ e. La m´ ethode des ´ el´ ements finis correspond au choix
V h =
v h ∈ C
0 (Ω) : v h| T ∈ P k (T ) ∀T ∈ T h , v h| ∂Ω = 0
,
(11.70)
o` u T h d´ esigne une triangulation du domaine Ω (voir Section 7.5.2), et P k
(k ≥ 1) l’espace des polynˆ omes d´ efinis en (7.26). Remarquer qu’il n’est pas
n´ ecessaire que Ω soit un domaine rectangulaire (voir Figure 11.7, ` a droite).
11 Probl` emes aux limites en dimension un
x ij x i,j+1
x i+1,j
x i,j−1
x i−1,j
Fig. 11.7. A gauche : grille de diff´ erences finies et stencil pour un domaine carr´ e.
A droite : triangulation ´ el´ ements finis d’une r´ egion entourant un trou
Le sch´ ema r´ esultant est connu sous le nom de discr´ etisation ` a cinq points
du laplacien. Il est facile (et utile) de v´ erifier en exercice que la matrice associ´ ee
A fd a (N − 1)
2 lignes, est pentadiagonale, et que sa i-` eme ligne est donn´ ee par
(a fd ) ij =
1
h 2
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
4 si j = i,
−1 si j = i − N − 1, i − 1, i + 1, i + N + 1,
0 sinon.
(11.69)
De plus, A fd est sym´ etrique d´ efinie positive et est une M-matrice (voir Exercice 13). Sans surprise, l’erreur de consistance associ´ ee ` a (11.68) est du second
ordre en h. Il en est de mˆ eme de l’erreur de discr´ etisation u − u h h,∞ de la
m´ ethode. On peut consid´ erer des conditions aux limites plus g´ en´ erales qu’en
(11.66) en ´ etendant au cas bidimensionnel la technique du miroir d´ ecrite ` a
la Section 11.2.3 et dans l’Exercice 10 (pour une discussion compl` ete sur ce
sujet, voir p.ex. [Smi85]).
La m´ ethode de Galerkin se g´ en´ eralise encore plus facilement (au moins
formellement). En effet, elle s’´ ecrit exactement de la mˆ eme mani` ere qu’en
(11.42), avec naturellement un espace fonctionnel V h et une forme bilin´ eaire
a(·, ·) adapt´ es au probl` eme consid´ er´ e. La m´ ethode des ´ el´ ements finis correspond au choix
V h =
v h ∈ C
0 (Ω) : v h| T ∈ P k (T ) ∀T ∈ T h , v h| ∂Ω = 0
,
(11.70)
o` u T h d´ esigne une triangulation du domaine Ω (voir Section 7.5.2), et P k
(k ≥ 1) l’espace des polynˆ omes d´ efinis en (7.26). Remarquer qu’il n’est pas
n´ ecessaire que Ω soit un domaine rectangulaire (voir Figure 11.7, ` a droite).