11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel
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−1
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1
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30
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0
Fig. 11.6. A gauche : courbes d’erreur (en fonction de h) pour les ´ el´ ements affines
et quadratiques. Les traits pleins et discontinus correspondent aux normes H
1 (]0, L[)
et L
2 (]0, L[) de l’erreur quand k = 1 ; de mˆ eme pour les traits mixtes et les pointill´ es
quand k = 2. A droite : courbes d’erreur obtenues pour une m´ ethode spectrale
(voir [CHQZ06]) en fonction de N (degr´ e du polynˆ ome). Les traits discontinus et
pleins correspondent respectivement aux normes H
1 (]0, L[) et L
2 (]0, L[) de l’erreur
11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel
Nous allons mai tenant nous prˆ eter au jeu d’´ etendre en quelques pages au cas
bidimensionnel les principes de base vus dans les sections pr´ ec´ edentes dans le
cas monodimensionnel.
La g´ en´ eralisation imm´ ediate du probl` eme (11.1)-(11.2) est le c´ el` ebre probl` eme de Poisson avec conditions aux limites homog` enes de Dirichlet
−−u = f dans Ω,
u = 0
sur ∂Ω,
(11.66)
o` u u = ∂
2 u/∂x
2 + ∂
2 u/∂y
2 est l’op´ erateur de Laplace et Ω un domaine
bidimensionnel born´ e de fronti` ere ∂Ω. Si Ω est le carr´ e unit´ e Ω =]0, 1[
2 , l’approximation par diff´ erences finies de (11.66) qui g´ en´ eralise (11.10) est
L h u h (x i,j ) = f(x i,j ) pour i, j = 1, . . . , N − 1,
u h (x i,j ) = 0
si i = 0 ou N,
j = 0 ou N,
(11.67)
o` u x i,j = (ih, jh) (h = 1/N > 0) sont les points de grilles et u h est une fonction
discr` ete. Enfin, L h d´ esigne une approximation consistante de l’op´ erateur L =
−−. Le choix classique est
L h u h (x i,j ) =
1
h 2 (4u i,j − u i+1,j − u i−1,j − u i,j+1 − u i,j−1 ) ,
(11.68)
o` u u i,j = u h (x i,j ), ce qui correspond `
a une discr´ etisation centr´ ee du second
ordre de la d´ eriv´ ee seconde (9.63) dans les directions x et y (voir Figure 11.7,
` a gauche).
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Fig. 11.6. A gauche : courbes d’erreur (en fonction de h) pour les ´ el´ ements affines
et quadratiques. Les traits pleins et discontinus correspondent aux normes H
1 (]0, L[)
et L
2 (]0, L[) de l’erreur quand k = 1 ; de mˆ eme pour les traits mixtes et les pointill´ es
quand k = 2. A droite : courbes d’erreur obtenues pour une m´ ethode spectrale
(voir [CHQZ06]) en fonction de N (degr´ e du polynˆ ome). Les traits discontinus et
pleins correspondent respectivement aux normes H
1 (]0, L[) et L
2 (]0, L[) de l’erreur
11.4 Un aper¸ cu du cas bidimensionnel
Nous allons mai tenant nous prˆ eter au jeu d’´ etendre en quelques pages au cas
bidimensionnel les principes de base vus dans les sections pr´ ec´ edentes dans le
cas monodimensionnel.
La g´ en´ eralisation imm´ ediate du probl` eme (11.1)-(11.2) est le c´ el` ebre probl` eme de Poisson avec conditions aux limites homog` enes de Dirichlet
−−u = f dans Ω,
u = 0
sur ∂Ω,
(11.66)
o` u u = ∂
2 u/∂x
2 + ∂
2 u/∂y
2 est l’op´ erateur de Laplace et Ω un domaine
bidimensionnel born´ e de fronti` ere ∂Ω. Si Ω est le carr´ e unit´ e Ω =]0, 1[
2 , l’approximation par diff´ erences finies de (11.66) qui g´ en´ eralise (11.10) est
L h u h (x i,j ) = f(x i,j ) pour i, j = 1, . . . , N − 1,
u h (x i,j ) = 0
si i = 0 ou N,
j = 0 ou N,
(11.67)
o` u x i,j = (ih, jh) (h = 1/N > 0) sont les points de grilles et u h est une fonction
discr` ete. Enfin, L h d´ esigne une approximation consistante de l’op´ erateur L =
−−. Le choix classique est
L h u h (x i,j ) =
1
h 2 (4u i,j − u i+1,j − u i−1,j − u i,j+1 − u i,j−1 ) ,
(11.68)
o` u u i,j = u h (x i,j ), ce qui correspond `
a une discr´ etisation centr´ ee du second
ordre de la d´ eriv´ ee seconde (9.63) dans les directions x et y (voir Figure 11.7,
` a gauche).