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11 Probl` emes aux limites en dimension un
Programme 87 - H1error : Calcul de la norme H
1 de l’erreur
function [L2err,H1err]=H1error(coord,h,uh,u,udx)
%H1ERROR Calcul de l’erreur en norme H1.
nvert=max(size(coord)); x=[]; k=0;
for i = 1:nvert-1
xm=(coord(i+1)+coord(i))*0.5;
x=[x, coord(i),xm];
k=k+2;
end
ndof=k+1; x(ndof)=coord(nvert);
uq=eval(u); uxq=eval(udx);
L2err=0; H1err=0;
for i=1:nvert-1
L2err = L2err + (h/6)*((uh(i)-uq(2*i-1))ˆ2+...
4*(0.5*uh(i)+0.5*uh(i+1)-uq(2*i))ˆ2+(uh(i+1)-uq(2*i+1))ˆ2);
H1err = H1err + (1/(6*h))*((uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i-1))ˆ2+...
4*(uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i))ˆ2+(uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i+1))ˆ2);
end
H1err = sqrt(H1err + L2err); L2err = sqrt(L2err);
return
Exemple 11.1 V´ erifions la pr´ ecision de la solution obtenue par ´ el´ ements finis pour
le probl` eme suivant. On consid` ere une tige de longueur L dont la temp´ erature en
x = 0 est fix´ ee ` a t0 et qui est thermiquement isol´ ee en x = L. On suppose que la
tige a une section d’aire constante A et de p´ erim` etre p.
La temp´ erature u en un point quelconque x ∈]0, L[ de la tige est mod´ elis´ ee par
le probl` eme suivant, avec conditions aux limites mixtes de Dirichlet-Neumann :
⎧
⎨
⎩
−µAu
+ σpu = 0, x ∈]0, L[,
u(0) = u0,
u
(L) = 0,
(11.65)
o` u µ d´ esigne la conductivit´ e thermique et σ le coefficient de transport convectif. La
solution exacte de ce probl` eme est la fonction (r´ eguli` ere)
u(x) = u0
cosh[m(L − x)]
cosh(mL)
,
o` u m =
σp/µA. On r´ esout ce probl` eme avec des ´ el´ ements finis affines et quadratiques (k = 1 et k = 2) sur une grille uniforme. Pour les applications num´ eriques,
on prend une longueur L = 100[cm] et une section circulaire de rayon 2[cm] (on a
donc A = 4π[cm
2 ], p = 4π[cm]). On pose u0 = 10[
◦ C], σ = 2 et µ = 200.
La Figure 11.6 (` a gauche) montre le comportement de l’erreur dans les normes
L
2 et H
1 pour les ´ el´ ements affines et quadratiques. Remarquer le tr` es bon accord
entre les r´ esultats num´ eriques et les estimations th´ eoriques (11.56) et (11.57) : la
solution exacte ´ etant r´ eguli` ere, les ordres de convergence dans les normes L
2 et H
1
tendent respectivement vers k +1 et k quand on utilise des ´ el´ ements finis de degr´ e k.
•
11 Probl` emes aux limites en dimension un
Programme 87 - H1error : Calcul de la norme H
1 de l’erreur
function [L2err,H1err]=H1error(coord,h,uh,u,udx)
%H1ERROR Calcul de l’erreur en norme H1.
nvert=max(size(coord)); x=[]; k=0;
for i = 1:nvert-1
xm=(coord(i+1)+coord(i))*0.5;
x=[x, coord(i),xm];
k=k+2;
end
ndof=k+1; x(ndof)=coord(nvert);
uq=eval(u); uxq=eval(udx);
L2err=0; H1err=0;
for i=1:nvert-1
L2err = L2err + (h/6)*((uh(i)-uq(2*i-1))ˆ2+...
4*(0.5*uh(i)+0.5*uh(i+1)-uq(2*i))ˆ2+(uh(i+1)-uq(2*i+1))ˆ2);
H1err = H1err + (1/(6*h))*((uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i-1))ˆ2+...
4*(uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i))ˆ2+(uh(i+1)-uh(i)-h*uxq(2*i+1))ˆ2);
end
H1err = sqrt(H1err + L2err); L2err = sqrt(L2err);
return
Exemple 11.1 V´ erifions la pr´ ecision de la solution obtenue par ´ el´ ements finis pour
le probl` eme suivant. On consid` ere une tige de longueur L dont la temp´ erature en
x = 0 est fix´ ee ` a t0 et qui est thermiquement isol´ ee en x = L. On suppose que la
tige a une section d’aire constante A et de p´ erim` etre p.
La temp´ erature u en un point quelconque x ∈]0, L[ de la tige est mod´ elis´ ee par
le probl` eme suivant, avec conditions aux limites mixtes de Dirichlet-Neumann :
⎧
⎨
⎩
−µAu
+ σpu = 0, x ∈]0, L[,
u(0) = u0,
u
(L) = 0,
(11.65)
o` u µ d´ esigne la conductivit´ e thermique et σ le coefficient de transport convectif. La
solution exacte de ce probl` eme est la fonction (r´ eguli` ere)
u(x) = u0
cosh[m(L − x)]
cosh(mL)
,
o` u m =
σp/µA. On r´ esout ce probl` eme avec des ´ el´ ements finis affines et quadratiques (k = 1 et k = 2) sur une grille uniforme. Pour les applications num´ eriques,
on prend une longueur L = 100[cm] et une section circulaire de rayon 2[cm] (on a
donc A = 4π[cm
2 ], p = 4π[cm]). On pose u0 = 10[
◦ C], σ = 2 et µ = 200.
La Figure 11.6 (` a gauche) montre le comportement de l’erreur dans les normes
L
2 et H
1 pour les ´ el´ ements affines et quadratiques. Remarquer le tr` es bon accord
entre les r´ esultats num´ eriques et les estimations th´ eoriques (11.56) et (11.57) : la
solution exacte ´ etant r´ eguli` ere, les ordres de convergence dans les normes L
2 et H
1
tendent respectivement vers k +1 et k quand on utilise des ´ el´ ements finis de degr´ e k.
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