11.3 M´ ethode de Galerkin
443
Cette base est dite hi´ erarchique car elle est obtenue en compl´ etant les fonctions
de base du sous-espace de degr´ e juste inf´ erieur `
a celui de X
2
h (i.e. X
1
h ). Plus
pr´ ecis´ ement, la fonction bulle
ψ 1 ∈ X
2
h est ajout´ ee aux fonctions de forme
ψ 0
et
ψ 2 de X
1
h . Les bases hi´ erarchiques sont utiles quand on augmente le degr´ e
d’interpolation de mani` ere adaptative (on parle alors d’adaptativit´ e de type
p).
Pour montrer que les fonctions (11.63) forment une base, on doit v´ erifier
qu’elles sont lin´ eairement ind´ ependantes, i.e.
α 0
ψ 0 (ξ) + α 1
ψ 1 (ξ) + α 2
ψ 2 (ξ) = 0 ∀ξ ∈ [0, 1] ⇔ α 0 = α 1 = α 2 = 0.
Ceci est bien v´ erifi´ e dans notre cas puisque si
2
i=0
α i
ψ i (ξ) = α 0 + ξ(α 1 − α 0 + α 2 ) − α 1 ξ
2 = 0
∀ξ ∈ [0, 1],
alors α 0 = 0, α 1 = 0 et donc α 2 = 0.
En proc´ edant de mani` ere analogue `
a ce qu’on vient de voir, on peut construire
une base pour tout sous-espace X
k
h , avec k arbitraire. Cependant, on doit
garder `
a l’esprit qu’en augmentant le degr´ e k du polynˆ ome d’interpolation, on
augmente le nombre de degr´ es de libert´ e de la m´ ethode des ´ el´ ements finis et
donc le coˆ ut de la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire (11.44).
Examinons la structure et les propri´ et´ es de la matrice de raideur associ´ ee au
syst` eme (11.44) dans le cas de la m´ ethode des ´ el´ ements finis (A G = A fe ).
Comme les fonctions de base d’´ el´ ements finis de X
k
h ont un support restreint, A fe est creuse. Dans le cas particulier k = 1, le support de la fonction de
forme ϕ i est la r´ eunion des intervalles I i−1 et I i si 1 ≤ i ≤ n − 1, et l’intervalle
I 0 (resp. I n−1 ) si i = 0 (resp. i = n). Par cons´ equent, pour i = 1, . . . , n − 1,
seules les fonctions de forme ϕ i−1 et ϕ i+1 ont un support dont l’intersection
avec celui de ϕ i est non vide. Ceci implique que A fe est tridiagonale puisque
a ij = 0 si j ∈ {i − 1, i, i + 1}. Quand k = 2, on d´ eduit d’arguments similaires
que A fe est une matrice pentadiagonale.
Le conditionnement de A fe est une fonction du pas de discr´ etisation h ; en
effet,
K 2 (A fe ) = A fe 2 A
−1
fe 2 = O(h
−2 )
(voir p.ex. [QV94], Section 6.3.2), ce qui montre que le conditionnement du
syst` eme (11.44) r´ esultant de la m´ ethode des ´ el´ ements finis croit rapidement
quand h → 0. Ainsi, quand on diminue h dans le but d’am´ eliorer la pr´ ecision,
on d´ et´ eriore le conditionnement du syst` eme. Quand on utilise des m´ ethodes de
r´ esolution it´ eratives, il est donc n´ ecessaire de recourir ` a des techniques de pr´ econditionnement, particuli` erement pour les probl` emes ` a plusieurs dimensions
d’espace (voir Section 4.3.2).
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Cette base est dite hi´ erarchique car elle est obtenue en compl´ etant les fonctions
de base du sous-espace de degr´ e juste inf´ erieur `
a celui de X
2
h (i.e. X
1
h ). Plus
pr´ ecis´ ement, la fonction bulle
ψ 1 ∈ X
2
h est ajout´ ee aux fonctions de forme
ψ 0
et
ψ 2 de X
1
h . Les bases hi´ erarchiques sont utiles quand on augmente le degr´ e
d’interpolation de mani` ere adaptative (on parle alors d’adaptativit´ e de type
p).
Pour montrer que les fonctions (11.63) forment une base, on doit v´ erifier
qu’elles sont lin´ eairement ind´ ependantes, i.e.
α 0
ψ 0 (ξ) + α 1
ψ 1 (ξ) + α 2
ψ 2 (ξ) = 0 ∀ξ ∈ [0, 1] ⇔ α 0 = α 1 = α 2 = 0.
Ceci est bien v´ erifi´ e dans notre cas puisque si
2
i=0
α i
ψ i (ξ) = α 0 + ξ(α 1 − α 0 + α 2 ) − α 1 ξ
2 = 0
∀ξ ∈ [0, 1],
alors α 0 = 0, α 1 = 0 et donc α 2 = 0.
En proc´ edant de mani` ere analogue `
a ce qu’on vient de voir, on peut construire
une base pour tout sous-espace X
k
h , avec k arbitraire. Cependant, on doit
garder `
a l’esprit qu’en augmentant le degr´ e k du polynˆ ome d’interpolation, on
augmente le nombre de degr´ es de libert´ e de la m´ ethode des ´ el´ ements finis et
donc le coˆ ut de la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire (11.44).
Examinons la structure et les propri´ et´ es de la matrice de raideur associ´ ee au
syst` eme (11.44) dans le cas de la m´ ethode des ´ el´ ements finis (A G = A fe ).
Comme les fonctions de base d’´ el´ ements finis de X
k
h ont un support restreint, A fe est creuse. Dans le cas particulier k = 1, le support de la fonction de
forme ϕ i est la r´ eunion des intervalles I i−1 et I i si 1 ≤ i ≤ n − 1, et l’intervalle
I 0 (resp. I n−1 ) si i = 0 (resp. i = n). Par cons´ equent, pour i = 1, . . . , n − 1,
seules les fonctions de forme ϕ i−1 et ϕ i+1 ont un support dont l’intersection
avec celui de ϕ i est non vide. Ceci implique que A fe est tridiagonale puisque
a ij = 0 si j ∈ {i − 1, i, i + 1}. Quand k = 2, on d´ eduit d’arguments similaires
que A fe est une matrice pentadiagonale.
Le conditionnement de A fe est une fonction du pas de discr´ etisation h ; en
effet,
K 2 (A fe ) = A fe 2 A
−1
fe 2 = O(h
−2 )
(voir p.ex. [QV94], Section 6.3.2), ce qui montre que le conditionnement du
syst` eme (11.44) r´ esultant de la m´ ethode des ´ el´ ements finis croit rapidement
quand h → 0. Ainsi, quand on diminue h dans le but d’am´ eliorer la pr´ ecision,
on d´ et´ eriore le conditionnement du syst` eme. Quand on utilise des m´ ethodes de
r´ esolution it´ eratives, il est donc n´ ecessaire de recourir ` a des techniques de pr´ econditionnement, particuli` erement pour les probl` emes ` a plusieurs dimensions
d’espace (voir Section 4.3.2).