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11 Probl` emes aux limites en dimension un
Remarque 11.4 (Probl` emes elliptiques d’ordre sup´ erieur) Les m´ ethodes de Galerkin en g´ en´ eral, et la m´ ethode des ´ el´ ements finis en particulier,
peuvent aussi ˆ etre utilis´ ees pour d’autres types d’´ equations elliptiques, par
exemple celles d’ordre quatre. Dans ce cas, la solution approch´ ee (ainsi que
les fonctions tests) doivent ˆ etre continˆ ument d´ erivables. Voir la Section 13.5
pour un exemple.
11.3.6 Equations d’advection-diffusion
Les probl` emes aux limites de la forme (11.37) sont utilis´ es pour d´ ecrire des processus de diffusion, d’advection et d’absorption (ou de r´ eaction) d’une certaine
quantit´ e physique u(x). Le terme −(αu
)
mod´ elise la diffusion, βu
l’advection (ou le transport), γu l’absorption (si γ > 0). Lorsque α est petit devant
β (ou γ), la m´ ethode de Galerkin introduite ci-dessus peut donner des r´ esultats num´ eriques tr` es impr´ ecis. L’in´ egalit´ e (11.52) permet d’expliquer ceci de
mani` ere heuristique : quand la constante M/α 0 est tr` es grande, l’estimation
de l’erreur est tr` es mauvaise ` a moins que h ne soit beaucoup plus petit que
(M/α 0 )
−1 . En particulier, en supposant pour simplifier tous les coefficients
de (11.37) constants, l’approximation par ´ el´ ement finis donne une solution
oscillante si Pe < 1 o` u
Pe =
|β|h
2α
est appel´ e nombre de P´ eclet local (voir [QV94, Chap.8]). Le moyen le plus
simple de pr´ evenir ces oscillations consiste ` a choisir un pas de maillage h
assez petit de mani` ere ` a ce que Pe < 1. Cependant, ceci est rarement faisable
en pratique : par exemple, si β = 1 et α = 5 · 10
−5 , on devrait prendre h <
10
−4 , c’est-` a-dire diviser [0, 1] en 10000 sous-intervalles, ce qui est infaisable en
plusieurs dimensions d’espace. On peut recourir `
a d’autres strat´ egies, comme
les m´ ethodes de stabilisation (voir p.ex. [QSS07]) dont le principe de base est
de remplacer dans (11.37) la viscosit´ e α par une viscosit´ e artificielle α h d´ efinie
par
α h = α(1 + φ(Pe)),
(11.64)
o` u φ est une fonction donn´ ee du nombre de P´ eclet local. Mentionnons deux
choix possibles :
1. φ(t) = t donne la m´ ethode dite d´ ecentr´ ee (upwind en anglais) ;
2. φ(t) = t−1+B(2t), o` u B(t) est l’inverse de la fonction de Bernoulli d´ efinie
par B(t) = t/(e
t
− 1) pour t = 0 et B(0) = 1. On a alors la m´ ethode aux
diff´ erences finies dite de fitting exponentiel, aussi connue sous le nom de
m´ ethode de Scharfetter-Gummel [SG69].
11 Probl` emes aux limites en dimension un
Remarque 11.4 (Probl` emes elliptiques d’ordre sup´ erieur) Les m´ ethodes de Galerkin en g´ en´ eral, et la m´ ethode des ´ el´ ements finis en particulier,
peuvent aussi ˆ etre utilis´ ees pour d’autres types d’´ equations elliptiques, par
exemple celles d’ordre quatre. Dans ce cas, la solution approch´ ee (ainsi que
les fonctions tests) doivent ˆ etre continˆ ument d´ erivables. Voir la Section 13.5
pour un exemple.
11.3.6 Equations d’advection-diffusion
Les probl` emes aux limites de la forme (11.37) sont utilis´ es pour d´ ecrire des processus de diffusion, d’advection et d’absorption (ou de r´ eaction) d’une certaine
quantit´ e physique u(x). Le terme −(αu
)
mod´ elise la diffusion, βu
l’advection (ou le transport), γu l’absorption (si γ > 0). Lorsque α est petit devant
β (ou γ), la m´ ethode de Galerkin introduite ci-dessus peut donner des r´ esultats num´ eriques tr` es impr´ ecis. L’in´ egalit´ e (11.52) permet d’expliquer ceci de
mani` ere heuristique : quand la constante M/α 0 est tr` es grande, l’estimation
de l’erreur est tr` es mauvaise ` a moins que h ne soit beaucoup plus petit que
(M/α 0 )
−1 . En particulier, en supposant pour simplifier tous les coefficients
de (11.37) constants, l’approximation par ´ el´ ement finis donne une solution
oscillante si Pe < 1 o` u
Pe =
|β|h
2α
est appel´ e nombre de P´ eclet local (voir [QV94, Chap.8]). Le moyen le plus
simple de pr´ evenir ces oscillations consiste ` a choisir un pas de maillage h
assez petit de mani` ere ` a ce que Pe < 1. Cependant, ceci est rarement faisable
en pratique : par exemple, si β = 1 et α = 5 · 10
−5 , on devrait prendre h <
10
−4 , c’est-` a-dire diviser [0, 1] en 10000 sous-intervalles, ce qui est infaisable en
plusieurs dimensions d’espace. On peut recourir `
a d’autres strat´ egies, comme
les m´ ethodes de stabilisation (voir p.ex. [QSS07]) dont le principe de base est
de remplacer dans (11.37) la viscosit´ e α par une viscosit´ e artificielle α h d´ efinie
par
α h = α(1 + φ(Pe)),
(11.64)
o` u φ est une fonction donn´ ee du nombre de P´ eclet local. Mentionnons deux
choix possibles :
1. φ(t) = t donne la m´ ethode dite d´ ecentr´ ee (upwind en anglais) ;
2. φ(t) = t−1+B(2t), o` u B(t) est l’inverse de la fonction de Bernoulli d´ efinie
par B(t) = t/(e
t
− 1) pour t = 0 et B(0) = 1. On a alors la m´ ethode aux
diff´ erences finies dite de fitting exponentiel, aussi connue sous le nom de
m´ ethode de Scharfetter-Gummel [SG69].