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11 Probl` emes aux limites en dimension un
` a x 2n = 1, de sorte que les milieux des intervalles aient des num´ eros impairs
et les extr´ emit´ es aient des num´ eros pairs.
L’expression des fonctions de base est
(i pair) ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(x − x i−1 )(x − x i−2 )
(x i − x i−1 )(x i − x i−2 )
pour x i−2 ≤ x ≤ x i ,
(x i+1 − x)(x i+2 − x)
(x i+1 − x i )(x i+2 − x i )
pour x i ≤ x ≤ x i+2 ,
0
s i n o n ,
(11.60)
(i impair) ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(x i+1 − x)(x − x i−1 )
(x i+1 − x i )(x i − x i−1 )
pour x i−1 ≤ x ≤ x i+1
,
0
s i n o n .
(11.61)
Toutes les fonctions de base v´ erifient ϕ i (x j ) = δ ij , i, j = 0, . . ., 2n. Les fonctions de base de r´ ef´ erence de X
2
h sur [0, 1] sont donn´ ees par
ϕ 0 (ξ) = (1 − ξ)(1 − 2ξ),
ϕ 1 (ξ) = 4(1 − ξ)ξ,
ϕ 2 (ξ) = ξ(2ξ − 1) (11.62)
et sont repr´ esent´ ees sur la Figure 11.5. Comme dans le cas des ´ el´ ement finis
affines par morceaux de X
1
h , les fonctions de forme (11.60) et (11.61) sont
les images de (11.62) par l’application affine (11.59). On remarquera que le
support de la fonction de base ϕ 2i+1 associ´ ee au point milieu x 2i+1 co¨ ıncide
avec l’intervalle auquel le point milieu appartient. Compte tenu de sa forme,
ϕ 2i+1 est habituellement appel´ ee fonction bulle.
Jusqu’` a pr´ esent, on a seulement consid´ er´ e des fonctions de forme lagrangiennes. Si on retire cette contrainte, d’autres types de bases peuvent ˆ etre
construits. Par exemple, sur l’intervalle de r´ ef´ erence,
ψ 0 (ξ) = 1 − ξ,
ψ 1 (ξ) = (1 − ξ)ξ,
ψ 2 (ξ) = ξ.
(11.63)
ϕ 0
ϕ 1
ϕ 2
ξ
0
1
0.5
1
Fig. 11.5. Fonctions de base de X
2
h sur l’intervalle de r´ ef´ erence
11 Probl` emes aux limites en dimension un
` a x 2n = 1, de sorte que les milieux des intervalles aient des num´ eros impairs
et les extr´ emit´ es aient des num´ eros pairs.
L’expression des fonctions de base est
(i pair) ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(x − x i−1 )(x − x i−2 )
(x i − x i−1 )(x i − x i−2 )
pour x i−2 ≤ x ≤ x i ,
(x i+1 − x)(x i+2 − x)
(x i+1 − x i )(x i+2 − x i )
pour x i ≤ x ≤ x i+2 ,
0
s i n o n ,
(11.60)
(i impair) ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
(x i+1 − x)(x − x i−1 )
(x i+1 − x i )(x i − x i−1 )
pour x i−1 ≤ x ≤ x i+1
,
0
s i n o n .
(11.61)
Toutes les fonctions de base v´ erifient ϕ i (x j ) = δ ij , i, j = 0, . . ., 2n. Les fonctions de base de r´ ef´ erence de X
2
h sur [0, 1] sont donn´ ees par
ϕ 0 (ξ) = (1 − ξ)(1 − 2ξ),
ϕ 1 (ξ) = 4(1 − ξ)ξ,
ϕ 2 (ξ) = ξ(2ξ − 1) (11.62)
et sont repr´ esent´ ees sur la Figure 11.5. Comme dans le cas des ´ el´ ement finis
affines par morceaux de X
1
h , les fonctions de forme (11.60) et (11.61) sont
les images de (11.62) par l’application affine (11.59). On remarquera que le
support de la fonction de base ϕ 2i+1 associ´ ee au point milieu x 2i+1 co¨ ıncide
avec l’intervalle auquel le point milieu appartient. Compte tenu de sa forme,
ϕ 2i+1 est habituellement appel´ ee fonction bulle.
Jusqu’` a pr´ esent, on a seulement consid´ er´ e des fonctions de forme lagrangiennes. Si on retire cette contrainte, d’autres types de bases peuvent ˆ etre
construits. Par exemple, sur l’intervalle de r´ ef´ erence,
ψ 0 (ξ) = 1 − ξ,
ψ 1 (ξ) = (1 − ξ)ξ,
ψ 2 (ξ) = ξ.
(11.63)
ϕ 0
ϕ 1
ϕ 2
ξ
0
1
0.5
1
Fig. 11.5. Fonctions de base de X
2
h sur l’intervalle de r´ ef´ erence