11.3 M´ ethode de Galerkin
441
1
x 1
x 0
x i−1 x i x i+1 x n−1 x n = 1
ϕ i
ϕ n
ϕ 0
Fig. 11.3. Fonctions de forme de X
1
h associ´ ees aux noeuds internes et aux extr´ emit´ es
1
1
0
0
1
φ
ϕ
ϕ
ξ
x
x i
x i+1
Fig. 11.4. Application affine φ allant de l’intervalle de r´ ef´ erence vers un intervalle
arbitraire de la partition
Pour tout intervalle I i = [x i , x i+1 ], i = 0, . . . , n − 1, les deux fonctions de base
ϕ i et ϕ i+1 peuvent ˆ etre vues comme les images de deux fonctions de forme de
r´ ef´ erence
ϕ 0 et
ϕ 1 (d´ efinies sur l’intervalle de r´ ef´ erence [0, 1]) par l’application
affine φ : [0, 1] → I i
x = φ(ξ) = x i + ξ(x i+1 − x i ),
i= 0, . . . , n − 1.
(11.59)
En posant
ϕ 0 (ξ) = 1 − ξ,
ϕ 1 (ξ) = ξ, on peut construire les deux fonctions de
forme ϕ i et ϕ i+1 sur l’intervalle I i de la mani` ere suivante :
ϕ i (x) =
ϕ 0 (ξ(x)),
ϕ i+1 (x) =
ϕ 1 (ξ(x)),
o` u ξ(x) = (x − x i )/(x i+1 − x i ) (voir Figure 11.4).
L’espace X
2
h
Un ´ el´ ement v h ∈ X
2
h est une fonction polynomiale par morceaux de degr´ e 2 sur
chaque intervalle I i . Une telle fonction est d´ etermin´ ee de mani` ere unique par
des valeurs donn´ ees en trois points distincts de I i . Pour assurer la continuit´ e
de v h sur [0, 1], on choisit pour degr´ es de libert´ e les valeurs de la fonction aux
noeuds x i de T h , i = 0, . . . , n. On choisit ´ egalement les valeurs aux milieux
des intervalles I i , i = 0, . . . , n − 1. Il y a donc au total 2n + 1 degr´ es de libert´ e,
qu’il est commode de num´ eroter comme les noeuds correspondant de x 0 = 0
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1
x 1
x 0
x i−1 x i x i+1 x n−1 x n = 1
ϕ i
ϕ n
ϕ 0
Fig. 11.3. Fonctions de forme de X
1
h associ´ ees aux noeuds internes et aux extr´ emit´ es
1
1
0
0
1
φ
ϕ
ϕ
ξ
x
x i
x i+1
Fig. 11.4. Application affine φ allant de l’intervalle de r´ ef´ erence vers un intervalle
arbitraire de la partition
Pour tout intervalle I i = [x i , x i+1 ], i = 0, . . . , n − 1, les deux fonctions de base
ϕ i et ϕ i+1 peuvent ˆ etre vues comme les images de deux fonctions de forme de
r´ ef´ erence
ϕ 0 et
ϕ 1 (d´ efinies sur l’intervalle de r´ ef´ erence [0, 1]) par l’application
affine φ : [0, 1] → I i
x = φ(ξ) = x i + ξ(x i+1 − x i ),
i= 0, . . . , n − 1.
(11.59)
En posant
ϕ 0 (ξ) = 1 − ξ,
ϕ 1 (ξ) = ξ, on peut construire les deux fonctions de
forme ϕ i et ϕ i+1 sur l’intervalle I i de la mani` ere suivante :
ϕ i (x) =
ϕ 0 (ξ(x)),
ϕ i+1 (x) =
ϕ 1 (ξ(x)),
o` u ξ(x) = (x − x i )/(x i+1 − x i ) (voir Figure 11.4).
L’espace X
2
h
Un ´ el´ ement v h ∈ X
2
h est une fonction polynomiale par morceaux de degr´ e 2 sur
chaque intervalle I i . Une telle fonction est d´ etermin´ ee de mani` ere unique par
des valeurs donn´ ees en trois points distincts de I i . Pour assurer la continuit´ e
de v h sur [0, 1], on choisit pour degr´ es de libert´ e les valeurs de la fonction aux
noeuds x i de T h , i = 0, . . . , n. On choisit ´ egalement les valeurs aux milieux
des intervalles I i , i = 0, . . . , n − 1. Il y a donc au total 2n + 1 degr´ es de libert´ e,
qu’il est commode de num´ eroter comme les noeuds correspondant de x 0 = 0