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11 Probl` emes aux limites en dimension un
Table 11.1. Ordre de convergence de la m´ ethodes des ´ el´ ements finis en fonction de
k (degr´ e d’interpolation) et s (r´ egularit´ e de Sobolev de la solution u)
k
s= 1
s = 2 s = 3 s = 4 s = 5
1 seulement convergence
h
1
h
1
h
1
h
1
2 seulement convergence
h
1
h
2
h
2
h
2
3 seulement convergence
h
1
h
2
h
3
h
3
4 seulement convergence
h
1
h
2
h
3
h
4
Voyons `
a pr´ esent comment construire une base {ϕ j } pour l’espace d’´ el´ ements
finis X
k
h dans les cas particuliers o` u k = 1 et k = 2. Le point de d´ epart est de
choisir un ensemble convenable de degr´ es de libert´ e pour chaque ´ el´ ement I j de
la partition T h (i.e. les param` etres qui permettent de d´ eterminer de mani` ere
unique une fonction de X
k
h ). Une fonction quelconque v h de X
k
h peut alors
s’´ ecrire
v h (x) =
nk
i=0
v i ϕ i (x),
o` u {v i } est l’ensemble des degr´ es de libert´ e de v h et o` u les fonctions de base
ϕ i (aussi appel´ ees fonctions de forme) sont suppos´ ees satisfaire la propri´ et´ e
d’interpolation de Lagrange ϕ i (x j ) = δ ij , i, j = 0, . . . , n, o` u δ ij est le symbole
de Kronecker.
L’espace X
1
h
Cet espace est constitu´ e des fonctions continues et affines par morceaux sur la
partition T h . Comme il n’y a qu’une droite passant par deux noeuds distincts,
le nombre de degr´ es de libert´ e de v h est ´ egal au nombre de noeuds dans la
partition, soit n + 1. Par cons´ equent, n + 1 fonctions de forme ϕ i , i = 0, . . . , n
sont n´ ecessaires pour engendrer l’espace X
1
h . Le choix le plus naturel pour ϕ i ,
i = 1, . . ., n − 1, est
ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x − x i−1
x i − x i−1
pour x i−1 ≤ x ≤ x i ,
x i+1 − x
x i+1 − x i
pour x i ≤ x ≤ x i+1 ,
0
s i n o n .
(11.58)
La fonction de forme ϕ i est donc affine par morceaux sur T h , sa valeur est 1 au
noeud x i et 0 sur les autres noeuds de la partition. Son support (c’est-` a-dire
le sous-ensemble de [0, 1] o` u ϕ i est non nulle) est la r´ eunion des intervalles
I i−1 et I i si 1 ≤ i ≤ n − 1, et l’intervalle I 0 (resp. I n−1 ) si i = 0 (resp. i = n).
Le graphe des fonctions ϕ i , ϕ 0 et ϕ n est repr´ esent´ e sur la Figure 11.3.
11 Probl` emes aux limites en dimension un
Table 11.1. Ordre de convergence de la m´ ethodes des ´ el´ ements finis en fonction de
k (degr´ e d’interpolation) et s (r´ egularit´ e de Sobolev de la solution u)
k
s= 1
s = 2 s = 3 s = 4 s = 5
1 seulement convergence
h
1
h
1
h
1
h
1
2 seulement convergence
h
1
h
2
h
2
h
2
3 seulement convergence
h
1
h
2
h
3
h
3
4 seulement convergence
h
1
h
2
h
3
h
4
Voyons `
a pr´ esent comment construire une base {ϕ j } pour l’espace d’´ el´ ements
finis X
k
h dans les cas particuliers o` u k = 1 et k = 2. Le point de d´ epart est de
choisir un ensemble convenable de degr´ es de libert´ e pour chaque ´ el´ ement I j de
la partition T h (i.e. les param` etres qui permettent de d´ eterminer de mani` ere
unique une fonction de X
k
h ). Une fonction quelconque v h de X
k
h peut alors
s’´ ecrire
v h (x) =
nk
i=0
v i ϕ i (x),
o` u {v i } est l’ensemble des degr´ es de libert´ e de v h et o` u les fonctions de base
ϕ i (aussi appel´ ees fonctions de forme) sont suppos´ ees satisfaire la propri´ et´ e
d’interpolation de Lagrange ϕ i (x j ) = δ ij , i, j = 0, . . . , n, o` u δ ij est le symbole
de Kronecker.
L’espace X
1
h
Cet espace est constitu´ e des fonctions continues et affines par morceaux sur la
partition T h . Comme il n’y a qu’une droite passant par deux noeuds distincts,
le nombre de degr´ es de libert´ e de v h est ´ egal au nombre de noeuds dans la
partition, soit n + 1. Par cons´ equent, n + 1 fonctions de forme ϕ i , i = 0, . . . , n
sont n´ ecessaires pour engendrer l’espace X
1
h . Le choix le plus naturel pour ϕ i ,
i = 1, . . ., n − 1, est
ϕ i (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x − x i−1
x i − x i−1
pour x i−1 ≤ x ≤ x i ,
x i+1 − x
x i+1 − x i
pour x i ≤ x ≤ x i+1 ,
0
s i n o n .
(11.58)
La fonction de forme ϕ i est donc affine par morceaux sur T h , sa valeur est 1 au
noeud x i et 0 sur les autres noeuds de la partition. Son support (c’est-` a-dire
le sous-ensemble de [0, 1] o` u ϕ i est non nulle) est la r´ eunion des intervalles
I i−1 et I i si 1 ≤ i ≤ n − 1, et l’intervalle I 0 (resp. I n−1 ) si i = 0 (resp. i = n).
Le graphe des fonctions ϕ i , ϕ 0 et ϕ n est repr´ esent´ e sur la Figure 11.3.