11.3 M´ ethode de Galerkin
439
o` u Π
k
h u est l’interpolant de la solution exacte u ∈ V de (11.39) (voir Section 7.3). D’apr` es l’in´ egalit´ e (11.54), on voit que l’estimation de l’erreur d’approximation de Galerkin u − u h H 1 0 (]0,1[) se ram` ene ` a l’estimation de l’erreur
d’interpolation u − Π
k
h u H 1 0 (]0,1[) . Quand k = 1, en utilisant (11.52) et
− Π
1
h f L 2 (]0,1[) + h(f − Π
1
h f)
L 2 (]0,1[) ≤ C 1 h
2
f
L 2 (]0,1[) , (11.55)
(voir [QSS07, Chap.8]), on obtient
− u h H 1 0 (]0,1[) ≤
M
α 0
Chu H 2 (]0,1[) ,
d` es que u ∈ H
2 (]0, 1[). Cette estimation peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee au cas k >
1 comme le montre le r´ esultat de convergence suivant (dont on trouvera la
preuve p.ex. dans [QV94], Th´ eor` eme 6.2.1).
Propri´ et´ e 11.1 Soient u ∈ H
1
0 (]0, 1[) la solution exacte de (11.39) et u h ∈ V h
son approximation par ´ el´ ements finis construits avec des fonctions continues,
polynomiales par morceaux de degr´ e k ≥ 1. Supposons aussi que u ∈ H
s (]0, 1[)
avec s ≥ 2. On a alors l’estimation d’erreur suivante :
− u h H 1 0 (]0,1[) ≤
M
α 0
Ch
l
H l+1 (]0,1[) ,
(11.56)
o` u l = min(k, s − 1). Sous les mˆ emes hypoth` eses, on peut aussi montrer que :
− u h L 2 (]0,1[) ≤ Ch
l+1
u H l+1 (]0,1[) .
(11.57)
L’estimation (11.56) montre que la m´ ethode de Galerkin est convergente. Plus
pr´ ecis´ ement, son erreur d’approximation tend vers z´ ero quand h → 0 et la
convergence est d’ordre l. On voit aussi qu’il est inutile d’augmenter le degr´ e k des ´ el´ ements finis si la solution u n’est pas suffisamment r´ eguli` ere. On
dit que l est un seuil de r´ egularit´ e. L’alternative ´ evidente pour am´ eliorer la
pr´ ecision dans ce cas est de r´ eduire le pas de discr´ etisation h. Les m´ ethodes
spectrales sont bas´ ees sur la strat´ egie contraire (augmenter le degr´ e k) et sont
donc particuli` erement bien adapt´ ees aux probl` emes dont les solutions sont
tr` es r´ eguli` eres (voir [QSS07], [CHQZ06]).
Il est int´ eressant de consid´ erer le cas o` u la solution exacte u a la r´ egularit´ e minimale (s = 1). Le lemme de C´ ea assure toujours la convergence
de la m´ ethode de Galerkin, puisque quand h → 0 le sous-espace V h devient
dense dans V . Cependant, l’estimation (11.56) n’est plus valide. Il n’est donc
plus possible d’´ etablir l’ordre de convergence de la m´ ethode num´ erique. La
Table 11.1 r´ esume les ordres de convergence de la m´ ethode des ´ el´ ements finis
pour k = 1, . . . , 4 et s = 1, . . ., 5. Les r´ esultats encadr´ es correspondent aux
combinaisons optimales de k et s.
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o` u Π
k
h u est l’interpolant de la solution exacte u ∈ V de (11.39) (voir Section 7.3). D’apr` es l’in´ egalit´ e (11.54), on voit que l’estimation de l’erreur d’approximation de Galerkin u − u h H 1 0 (]0,1[) se ram` ene ` a l’estimation de l’erreur
d’interpolation u − Π
k
h u H 1 0 (]0,1[) . Quand k = 1, en utilisant (11.52) et
− Π
1
h f L 2 (]0,1[) + h(f − Π
1
h f)
L 2 (]0,1[) ≤ C 1 h
2
f
L 2 (]0,1[) , (11.55)
(voir [QSS07, Chap.8]), on obtient
− u h H 1 0 (]0,1[) ≤
M
α 0
Chu H 2 (]0,1[) ,
d` es que u ∈ H
2 (]0, 1[). Cette estimation peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee au cas k >
1 comme le montre le r´ esultat de convergence suivant (dont on trouvera la
preuve p.ex. dans [QV94], Th´ eor` eme 6.2.1).
Propri´ et´ e 11.1 Soient u ∈ H
1
0 (]0, 1[) la solution exacte de (11.39) et u h ∈ V h
son approximation par ´ el´ ements finis construits avec des fonctions continues,
polynomiales par morceaux de degr´ e k ≥ 1. Supposons aussi que u ∈ H
s (]0, 1[)
avec s ≥ 2. On a alors l’estimation d’erreur suivante :
− u h H 1 0 (]0,1[) ≤
M
α 0
Ch
l
H l+1 (]0,1[) ,
(11.56)
o` u l = min(k, s − 1). Sous les mˆ emes hypoth` eses, on peut aussi montrer que :
− u h L 2 (]0,1[) ≤ Ch
l+1
u H l+1 (]0,1[) .
(11.57)
L’estimation (11.56) montre que la m´ ethode de Galerkin est convergente. Plus
pr´ ecis´ ement, son erreur d’approximation tend vers z´ ero quand h → 0 et la
convergence est d’ordre l. On voit aussi qu’il est inutile d’augmenter le degr´ e k des ´ el´ ements finis si la solution u n’est pas suffisamment r´ eguli` ere. On
dit que l est un seuil de r´ egularit´ e. L’alternative ´ evidente pour am´ eliorer la
pr´ ecision dans ce cas est de r´ eduire le pas de discr´ etisation h. Les m´ ethodes
spectrales sont bas´ ees sur la strat´ egie contraire (augmenter le degr´ e k) et sont
donc particuli` erement bien adapt´ ees aux probl` emes dont les solutions sont
tr` es r´ eguli` eres (voir [QSS07], [CHQZ06]).
Il est int´ eressant de consid´ erer le cas o` u la solution exacte u a la r´ egularit´ e minimale (s = 1). Le lemme de C´ ea assure toujours la convergence
de la m´ ethode de Galerkin, puisque quand h → 0 le sous-espace V h devient
dense dans V . Cependant, l’estimation (11.56) n’est plus valide. Il n’est donc
plus possible d’´ etablir l’ordre de convergence de la m´ ethode num´ erique. La
Table 11.1 r´ esume les ordres de convergence de la m´ ethode des ´ el´ ements finis
pour k = 1, . . . , 4 et s = 1, . . ., 5. Les r´ esultats encadr´ es correspondent aux
combinaisons optimales de k et s.