11.3 M´ ethode de Galerkin
437
Le dernier terme est nul d’apr` es (11.49). On a d’autre part, en utilisant l’in´ egalit´ e
de Cauchy-Schwarz,
a(e, u − wh) =
1
0
αe
(u − wh)
dx +
1
0
γe(u − wh) dx
≤ ≤α∞|e| H 1 (]0,1[) |u − wh| H 1 (]0,1[)
+γ∞e L 2 (]0,1[) u − wh L 2 (]0,1[) ,
d’o` u on d´ eduit (11.48), en utilisant `
a nouveau l’in´ egalit´ e de Poincar´ e pour les termes
L 2 (]0,1[) et u − wh L 2 (]0,1[) .
3
Le r´ esultat pr´ ec´ edent est en fait valable sous des hypoth` eses plus g´ en´ erales
pour les probl` emes (11.39) et (11.42) : on peut supposer que V est un espace
de Hilbert, muni de la norme · · V , et que la forme bilin´ eaire a : V × V → R
satisfait les propri´ et´ es suivantes :
∃α 0 > 0 : a(v, v) ≥ α 0 v
2
V
∀v ∈ V (coercivit´ e)
(11.50)
∃M > 0 : |a(u, v)| ≤ M u V v V ∀u, v ∈ V (continuit´ e).
(11.51)
De plus, le second membre (f, v) satisfait l’in´ egalit´ e suivante :
|(f, v)| ≤ Kv V
∀v ∈ V.
Alors les probl` emes (11.39) et (11.42) admettent des solutions uniques qui
satisfont
V ≤
K
α 0
, u h V ≤
K
α 0
.
Ce r´ esultat c´ el` ebre est connu sous le nom de lemme de Lax-Milgram (pour sa
preuve voir p.ex. [QV94]). On a aussi l’estimation d’erreur suivante :
− u h V ≤
M
α 0
min
wh∈Vh
u − w h V .
(11.52)
La preuve de ce dernier r´ esultat, connu sous le nom de lemme de C´ ea, est tr` es
similaire `
a celle de (11.48) et est laiss´ ee au lecteur.
Montrons `
a pr´ esent que, sous l’hypoth` ese (11.50), la matrice du syst` eme
(11.44) est d´ efinie positive. On doit pour cela v´ erifier que v
T A G v ≥ 0 ∀v ∈ R
N
et que v
T A G v = 0 ⇔ v = 0 (voir Section 1.12).
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Le dernier terme est nul d’apr` es (11.49). On a d’autre part, en utilisant l’in´ egalit´ e
de Cauchy-Schwarz,
a(e, u − wh) =
1
0
αe
(u − wh)
dx +
1
0
γe(u − wh) dx
≤ ≤α∞|e| H 1 (]0,1[) |u − wh| H 1 (]0,1[)
+γ∞e L 2 (]0,1[) u − wh L 2 (]0,1[) ,
d’o` u on d´ eduit (11.48), en utilisant `
a nouveau l’in´ egalit´ e de Poincar´ e pour les termes
L 2 (]0,1[) et u − wh L 2 (]0,1[) .
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Le r´ esultat pr´ ec´ edent est en fait valable sous des hypoth` eses plus g´ en´ erales
pour les probl` emes (11.39) et (11.42) : on peut supposer que V est un espace
de Hilbert, muni de la norme · · V , et que la forme bilin´ eaire a : V × V → R
satisfait les propri´ et´ es suivantes :
∃α 0 > 0 : a(v, v) ≥ α 0 v
2
V
∀v ∈ V (coercivit´ e)
(11.50)
∃M > 0 : |a(u, v)| ≤ M u V v V ∀u, v ∈ V (continuit´ e).
(11.51)
De plus, le second membre (f, v) satisfait l’in´ egalit´ e suivante :
|(f, v)| ≤ Kv V
∀v ∈ V.
Alors les probl` emes (11.39) et (11.42) admettent des solutions uniques qui
satisfont
V ≤
K
α 0
, u h V ≤
K
α 0
.
Ce r´ esultat c´ el` ebre est connu sous le nom de lemme de Lax-Milgram (pour sa
preuve voir p.ex. [QV94]). On a aussi l’estimation d’erreur suivante :
− u h V ≤
M
α 0
min
wh∈Vh
u − w h V .
(11.52)
La preuve de ce dernier r´ esultat, connu sous le nom de lemme de C´ ea, est tr` es
similaire `
a celle de (11.48) et est laiss´ ee au lecteur.
Montrons `
a pr´ esent que, sous l’hypoth` ese (11.50), la matrice du syst` eme
(11.44) est d´ efinie positive. On doit pour cela v´ erifier que v
T A G v ≥ 0 ∀v ∈ R
N
et que v
T A G v = 0 ⇔ v = 0 (voir Section 1.12).