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11 Probl` emes aux limites en dimension un
11.3.4 Analyse de la m´ ethode de Galerkin
On munit l’espace H
1
0 (]0, 1[) de la norme suivante :
|v| H 1 (]0,1[) =
⎧
⎨
⎩
1
0
|v
(x)|
2 dx
⎫
⎬
⎭
1/2
.
(11.45)
Nous nous limitons au cas particulier o` u β = 0 et γ(x) ≥ 0. Dans le cas g´ en´ eral
du probl` eme (11.37), on supposera que
−
1
2
β
+ γ ≥ 0
∀x ∈ [0, 1].
(11.46)
Ceci assure que le probl` eme de Galerkin (11.42) admet une unique solution
d´ ependant continˆ ument des donn´ ees. En prenant v h = u h dans (11.42) on
obtient
α 0 |u h |
2
H 1 (]0,1[) ≤
1
0
α(u
h )
2 dx +
1
0
γ(u h )
2 dx
= (f, u h ) ≤ ≤f L 2 (]0,1[) u h L 2 (]0,1[) ,
o` u on a utilis´ e l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (9.4) pour le second membre de
l’in´ egalit´ e. On en d´ eduit, grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Poincar´ e (11.16), que
|u h | H 1 (]0,1[) ≤
C P
α 0
L 2 (]0,1[) .
(11.47)
Ainsi, d` es que f ∈ L
2 (]0, 1[), la norme de la solution de Galerkin est born´ ee uniform´ ement par rapport `
a la dimension du sous-espace V h . L’in´ egalit´ e
(11.47) ´ etablit donc la stabilit´ e de la solution d’un probl` eme de Galerkin.
Concernant la convergence, on peut montrer le r´ esultat suivant.
Th´ eor` eme 11.2 Soit C = α
−1
0 (α ∞ + C
2
P ∞ ) ; on a
|u − u h | H 1 (]0,1[) ≤ C min
wh∈Vh
|u − w h | H 1 (]0,1[) .
(11.48)
D´ emonstration. En soustrayant (11.42) `
a (11.39) (en se servant de vh ∈ Vh ⊂ V ),
on obtient, grˆ ace `
a la bilin´ earit´ e de la forme a(·, ·),
a(u − uh, vh) = 0
∀vh ∈ Vh.
(11.49)
Alors, en posant e(x) = u(x) − uh(x), on en d´ eduit
α0|e|
2
H 1 (]0,1[) ≤ a(e, e) = a(e, u − wh) + a(e, wh − uh)
∀wh ∈ Vh.