11.3 M´ ethode de Galerkin
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11.3.3 Formulation et propri´ et´ es de la m´ ethode de Galerkin
Contrairement `
a la m´ ethode des diff´ erences finies, qui d´ ecoule directement
de la formulation diff´ erentielle (11.37), encore appel´ ee formulation forte, la
m´ ethode de Galerkin est bas´ ee sur la formulation faible (11.39). Si V h est un
sous-espace vectoriel de dimension finie de V , la m´ ethode de Galerkin consiste
` a approcher (11.39) par le probl` eme
trouver u h ∈ V h : a(u h , v h ) = (f, v h ) ∀v h ∈ V h .
(11.42)
Ceci est un probl` eme en dimension finie. En effet, soit {ϕ 1 , . . . , ϕ N } une base
de V h , c’est-` a-dire un ensemble g´ en´ erateur de N fonctions lin´ eairement ind´ ependantes de V h . On peut ´ ecrire
u h (x) =
N
j=1
u j ϕ j (x).
L’entier N est la dimension de l’espace vectoriel V h . En prenant v h = ϕ i dans
(11.42), on voit que le probl` eme de Galerkin (11.42) est ´ equivalent `
a chercher
N coefficients r´ eels inconnus {u 1 , . . ., u N } tels que
N
j=1
u j a(ϕ j , ϕ i ) = (f, ϕ i )
∀i = 1, . . . , N.
(11.43)
On a utilis´ e la lin´ earit´ e de a(·, ·) par rapport `
a son premier argument, i.e.
a(
N
j=1
u j ϕ j , ϕ i ) =
N
j=1
u j a(ϕ j , ϕ i ).
En introduisant la matrice A G = (a ij ), a ij = a(ϕ j , ϕ i ) (appel´ ee matrice de
raideur), le vecteur inconnu u = [u 1 , . . . , u N ]
T et le second membre f G =
[f 1 , . . . , f N ]
T , avec f i = (f, ϕ i ), on voit que (11.43) est ´ equivalent au syst` eme
lin´ eaire
A G u = f G .
(11.44)
La structure de A G et l’ordre de pr´ ecision de u h d´ ependent de la forme des
fonctions de base {ϕ i }, et donc du choix de V h .
Nous allons voir deux exemples remarquables de m´ ethodes de Galerkin.
Dans le premier exemple, la m´ ethode des ´ el´ ements finis, V h est un espace de
fonctions continues, s’annulant aux extr´ emit´ e x = 0 et 1, et dont la restriction `
a des sous-intervalles de [0, 1] de longueur au plus h, est polynomiale.
Dans le second exemple, la m´ ethode spectrale, V h est un espace de polynˆ omes
s’annulant aux extr´ emit´ es x = 0, 1.
Mais avant de consid´ erer ces deux cas particuliers, nous commen¸ cons par
´ etablir quelques propri´ et´ es g´ en´ erales des m´ ethodes de Galerkin (11.42).
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11.3.3 Formulation et propri´ et´ es de la m´ ethode de Galerkin
Contrairement `
a la m´ ethode des diff´ erences finies, qui d´ ecoule directement
de la formulation diff´ erentielle (11.37), encore appel´ ee formulation forte, la
m´ ethode de Galerkin est bas´ ee sur la formulation faible (11.39). Si V h est un
sous-espace vectoriel de dimension finie de V , la m´ ethode de Galerkin consiste
` a approcher (11.39) par le probl` eme
trouver u h ∈ V h : a(u h , v h ) = (f, v h ) ∀v h ∈ V h .
(11.42)
Ceci est un probl` eme en dimension finie. En effet, soit {ϕ 1 , . . . , ϕ N } une base
de V h , c’est-` a-dire un ensemble g´ en´ erateur de N fonctions lin´ eairement ind´ ependantes de V h . On peut ´ ecrire
u h (x) =
N
j=1
u j ϕ j (x).
L’entier N est la dimension de l’espace vectoriel V h . En prenant v h = ϕ i dans
(11.42), on voit que le probl` eme de Galerkin (11.42) est ´ equivalent `
a chercher
N coefficients r´ eels inconnus {u 1 , . . ., u N } tels que
N
j=1
u j a(ϕ j , ϕ i ) = (f, ϕ i )
∀i = 1, . . . , N.
(11.43)
On a utilis´ e la lin´ earit´ e de a(·, ·) par rapport `
a son premier argument, i.e.
a(
N
j=1
u j ϕ j , ϕ i ) =
N
j=1
u j a(ϕ j , ϕ i ).
En introduisant la matrice A G = (a ij ), a ij = a(ϕ j , ϕ i ) (appel´ ee matrice de
raideur), le vecteur inconnu u = [u 1 , . . . , u N ]
T et le second membre f G =
[f 1 , . . . , f N ]
T , avec f i = (f, ϕ i ), on voit que (11.43) est ´ equivalent au syst` eme
lin´ eaire
A G u = f G .
(11.44)
La structure de A G et l’ordre de pr´ ecision de u h d´ ependent de la forme des
fonctions de base {ϕ i }, et donc du choix de V h .
Nous allons voir deux exemples remarquables de m´ ethodes de Galerkin.
Dans le premier exemple, la m´ ethode des ´ el´ ements finis, V h est un espace de
fonctions continues, s’annulant aux extr´ emit´ e x = 0 et 1, et dont la restriction `
a des sous-intervalles de [0, 1] de longueur au plus h, est polynomiale.
Dans le second exemple, la m´ ethode spectrale, V h est un espace de polynˆ omes
s’annulant aux extr´ emit´ es x = 0, 1.
Mais avant de consid´ erer ces deux cas particuliers, nous commen¸ cons par
´ etablir quelques propri´ et´ es g´ en´ erales des m´ ethodes de Galerkin (11.42).