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11 Probl` emes aux limites en dimension un
des scalaires R est appel´ ee une forme. On dit qu’une forme T : X → R est
continue si lim x→x0 T (x) = T (x 0 ) pour tout x 0 ∈ X. On dit qu’elle est lin´ eaire
si T (x + y) = T (x) + T (y) pour tout x, y ∈ X et T (λx) = λT (x) pour tout
x ∈ X et λ ∈ R.
Il est d’usage de noter T, x l’image de x par une forme lin´ eaire continue
T . Les symboles ·, ·· sont appel´ es crochets de dualit´ e. Par exemple, soit X =
C
0 ([0, 1]) muni de la norme du maximum · · ∞ et soient les deux formes
d´ efinies sur X par
T, x = x(0),
S, x =
1
0
x(t) sin(t)dt.
On v´ erifie facilement que T et S sont lin´ eaires et continues sur X. L’ensemble
des formes lin´ eaires continues sur X est un espace appel´ e espace dual de X et
not´ e X
.
On d´ efinit l’espace C
∞
0 (]0, 1[) (aussi not´ e D(]0, 1[)) des fonctions ind´ efiniment d´ erivables et ayant un support compact dans [0, 1], i.e. s’annulant `
a
l’ext´ erieur d’un ouvert born´ e ]a, b[⊂]0, 1[, avec 0 < a < b < 1. On dit que
v n ∈ D(]0, 1[) converge vers v ∈ D(]0, 1[) s’il existe un ferm´ e born´ e K ⊂]0, 1[
tel que v n est nulle hors de K pour tout n, et la d´ eriv´ ee v
(k)
n converge vers
v
(k) uniform´ ement dans ]0, 1[ pour tout k ≥ 0.
L’espace des formes lin´ eaires sur D(]0, 1[), continues au sens de la convergence qu’on vient d’introduire, est not´ e D
(]0, 1[) (c’est l’espace dual de
D(]0, 1[)). Ses ´ el´ ements sont appel´ es distributions. En particulier, toute fonction localement int´ egrable f est associ´ ee ` a une distribution, encore not´ ee f et
d´ efinie par :
f, ϕ =
1
0
fϕ.
Nous sommes maintenant en mesure d’introduire la d´ eriv´ ee au sens des
distributions. Soit T une distribution, i.e. un ´ el´ ement de D
(]0, 1[). Pour tout
k ≥ 0, T
(k) est aussi une distribution, d´ efinie par
T
(k) , ϕ = (−1)
k
T, ϕ
(k)
∀ϕ ∈ D(]0, 1[).
(11.41)
Par exemple, consid´ erons la fonction de Heaviside
H(x) =
1 x ≥ 0,
0 x < 0.
La d´ eriv´ ee au sens des distributions de H est la masse de Dirac ` a l’origine δ,
d´ efinie par
v → δ(v) = v(0),
v∈ D(R).
On voit, d’apr` es la d´ efinition (11.41), que toute distribution est ind´ efiniment
d´ erivable ; de plus, si T est une fonction de classe C
1 , sa d´ eriv´ ee au sens des
distributions co¨ ıncide avec sa d´ eriv´ ee usuelle.
11 Probl` emes aux limites en dimension un
des scalaires R est appel´ ee une forme. On dit qu’une forme T : X → R est
continue si lim x→x0 T (x) = T (x 0 ) pour tout x 0 ∈ X. On dit qu’elle est lin´ eaire
si T (x + y) = T (x) + T (y) pour tout x, y ∈ X et T (λx) = λT (x) pour tout
x ∈ X et λ ∈ R.
Il est d’usage de noter T, x l’image de x par une forme lin´ eaire continue
T . Les symboles ·, ·· sont appel´ es crochets de dualit´ e. Par exemple, soit X =
C
0 ([0, 1]) muni de la norme du maximum · · ∞ et soient les deux formes
d´ efinies sur X par
T, x = x(0),
S, x =
1
0
x(t) sin(t)dt.
On v´ erifie facilement que T et S sont lin´ eaires et continues sur X. L’ensemble
des formes lin´ eaires continues sur X est un espace appel´ e espace dual de X et
not´ e X
.
On d´ efinit l’espace C
∞
0 (]0, 1[) (aussi not´ e D(]0, 1[)) des fonctions ind´ efiniment d´ erivables et ayant un support compact dans [0, 1], i.e. s’annulant `
a
l’ext´ erieur d’un ouvert born´ e ]a, b[⊂]0, 1[, avec 0 < a < b < 1. On dit que
v n ∈ D(]0, 1[) converge vers v ∈ D(]0, 1[) s’il existe un ferm´ e born´ e K ⊂]0, 1[
tel que v n est nulle hors de K pour tout n, et la d´ eriv´ ee v
(k)
n converge vers
v
(k) uniform´ ement dans ]0, 1[ pour tout k ≥ 0.
L’espace des formes lin´ eaires sur D(]0, 1[), continues au sens de la convergence qu’on vient d’introduire, est not´ e D
(]0, 1[) (c’est l’espace dual de
D(]0, 1[)). Ses ´ el´ ements sont appel´ es distributions. En particulier, toute fonction localement int´ egrable f est associ´ ee ` a une distribution, encore not´ ee f et
d´ efinie par :
f, ϕ =
1
0
fϕ.
Nous sommes maintenant en mesure d’introduire la d´ eriv´ ee au sens des
distributions. Soit T une distribution, i.e. un ´ el´ ement de D
(]0, 1[). Pour tout
k ≥ 0, T
(k) est aussi une distribution, d´ efinie par
T
(k) , ϕ = (−1)
k
T, ϕ
(k)
∀ϕ ∈ D(]0, 1[).
(11.41)
Par exemple, consid´ erons la fonction de Heaviside
H(x) =
1 x ≥ 0,
0 x < 0.
La d´ eriv´ ee au sens des distributions de H est la masse de Dirac ` a l’origine δ,
d´ efinie par
v → δ(v) = v(0),
v∈ D(R).
On voit, d’apr` es la d´ efinition (11.41), que toute distribution est ind´ efiniment
d´ erivable ; de plus, si T est une fonction de classe C
1 , sa d´ eriv´ ee au sens des
distributions co¨ ıncide avec sa d´ eriv´ ee usuelle.