11.3 M´ ethode de Galerkin
433
est une forme bilin´ eaire, i.e. une forme lin´ eaire par rapport `
a chacun de ses
arguments u et v. Le probl` eme (11.39) est appel´ e formulation faible du probl` eme (11.1). Comme (11.39) ne contient que des d´ eriv´ ees premi` eres de u,
cette formulation peut d´ ecrire des cas o` u une solution classique u ∈ C
2 ([0, 1])
de (11.37) n’existe pas alors que le probl` eme physique est bien d´ efini.
Si par exemple, α = 1, β = γ = 0, la solution u(x) peut mod´ eliser le
d´ eplacement du point x d’une corde ´ elastique soumis ` a un chargement lin´ eique
f, dont la position au repos est u(x) = 0 pour tout x ∈ [0, 1] et qui est fix´ ee
aux extr´ emit´ es x = 0 et x = 1. La Figure 11.2 (` a droite) montre la solution
u(x) correspondant `
a une fonction f discontinue (voir Figure 11.2, ` a gauche).
Clairement, u
n’est pas d´ efinie aux points x = 0.4 et x = 0.6 o` u f est
discontinue.
1
0.6
0.4
0
−1
f(x)
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.05
−0.045
−0.04
−0.035
−0.03
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
u(x)
Fig. 11.2. Corde ´ elastique fix´ ee ` a ses extr´ emit´ es et soumise `
a un chargement discontinu f (` a gauche). D´ eplacement vertical u (` a droite)
Si les conditions aux limites pour (11.37) ne sont pas homog` enes, c’est` a-dire si u(0) = u 0 , u(1) = u 1 , avec u 0 et u 1 a priori non nuls, on peut
se ramener ` a une formulation analogue `
a (11.39) en proc´ edant comme suit.
Soit ¯
u(x) = xu 1 + (1 − x)u 0 la fonction affine qui interpole les donn´ ees aux
extr´ emit´ es, et soit
0
u= u(x) − ¯
u(x). Alors
0
u∈ V satisfait le probl` eme suivant :
trouver
0
u∈ V : a(
0
u, v) = (f, v) − a(¯ u, v) pour tout v ∈ V.
Des conditions aux limites de Neumann, u
(0) = u
(1) = 0, conduisent `
a un
probl` eme similaire. En proc´ edant comme pour (11.39), on voit que la solution
u de ce probl` eme de Neumann homog` ene satisfait le mˆ eme probl` eme (11.39) ` a
condition de prendre pour V l’espace H
1 (]0, 1[). On pourrait aussi consid´ erer
des conditions aux limites plus g´ en´ erales, de type mixte par exemple (voir
Exercice 12).
11.3.2 Notions sur les distributions
Soit X un espace de Banach, c’est-` a-dire un espace vectoriel norm´ e complet.
Une fonction T d´ efinie sur l’espace vectoriel X et ` a valeurs dans l’espace
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est une forme bilin´ eaire, i.e. une forme lin´ eaire par rapport `
a chacun de ses
arguments u et v. Le probl` eme (11.39) est appel´ e formulation faible du probl` eme (11.1). Comme (11.39) ne contient que des d´ eriv´ ees premi` eres de u,
cette formulation peut d´ ecrire des cas o` u une solution classique u ∈ C
2 ([0, 1])
de (11.37) n’existe pas alors que le probl` eme physique est bien d´ efini.
Si par exemple, α = 1, β = γ = 0, la solution u(x) peut mod´ eliser le
d´ eplacement du point x d’une corde ´ elastique soumis ` a un chargement lin´ eique
f, dont la position au repos est u(x) = 0 pour tout x ∈ [0, 1] et qui est fix´ ee
aux extr´ emit´ es x = 0 et x = 1. La Figure 11.2 (` a droite) montre la solution
u(x) correspondant `
a une fonction f discontinue (voir Figure 11.2, ` a gauche).
Clairement, u
n’est pas d´ efinie aux points x = 0.4 et x = 0.6 o` u f est
discontinue.
1
0.6
0.4
0
−1
f(x)
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.05
−0.045
−0.04
−0.035
−0.03
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
u(x)
Fig. 11.2. Corde ´ elastique fix´ ee ` a ses extr´ emit´ es et soumise `
a un chargement discontinu f (` a gauche). D´ eplacement vertical u (` a droite)
Si les conditions aux limites pour (11.37) ne sont pas homog` enes, c’est` a-dire si u(0) = u 0 , u(1) = u 1 , avec u 0 et u 1 a priori non nuls, on peut
se ramener ` a une formulation analogue `
a (11.39) en proc´ edant comme suit.
Soit ¯
u(x) = xu 1 + (1 − x)u 0 la fonction affine qui interpole les donn´ ees aux
extr´ emit´ es, et soit
0
u= u(x) − ¯
u(x). Alors
0
u∈ V satisfait le probl` eme suivant :
trouver
0
u∈ V : a(
0
u, v) = (f, v) − a(¯ u, v) pour tout v ∈ V.
Des conditions aux limites de Neumann, u
(0) = u
(1) = 0, conduisent `
a un
probl` eme similaire. En proc´ edant comme pour (11.39), on voit que la solution
u de ce probl` eme de Neumann homog` ene satisfait le mˆ eme probl` eme (11.39) ` a
condition de prendre pour V l’espace H
1 (]0, 1[). On pourrait aussi consid´ erer
des conditions aux limites plus g´ en´ erales, de type mixte par exemple (voir
Exercice 12).
11.3.2 Notions sur les distributions
Soit X un espace de Banach, c’est-` a-dire un espace vectoriel norm´ e complet.
Une fonction T d´ efinie sur l’espace vectoriel X et ` a valeurs dans l’espace