430
11 Probl` emes aux limites en dimension un
11.2.3 Diff´ erences finies pour des probl` emes aux limites 1D avec
coefficients variables
On consid` ere le probl` eme aux limites 1D suivant, qui est plus g´ en´ eral que
(11.1)-(11.2) :
Lu(x) = −(J(u)(x))
+ γ(x)u(x) = f(x), 0 < x < 1,
u(0) = d 0 , u(1) = d 1 ,
(11.30)
o` u
J(u)(x) = α(x)u
(x),
(11.31)
d 0 et d 1 sont des constantes donn´ ees, α, γ et f sont des fonctions donn´ ees,
continues sur [0, 1]. On suppose γ(x) ≥ 0 sur [0, 1] et α(x) ≥ α 0 > 0 pour un
certain α 0 . La variable auxiliaire J(u) est appel´ ee flux associ´ e ` a u ; elle a tr` es
souvent un sens physique pr´ ecis.
Pour l’approximation, il est commode d’introduire une nouvelle grille sur
[0, 1] constitu´ ee des points milieux x j+1/2 = (x j + x j+1 )/2 des intervalles
[x j , x j+1 ] pour j = 0, . . ., n − 1. On approche alors (11.30) par le sch´ ema aux
diff´ erences finies suivant : trouver u h ∈ V h tel que
L h u h (x j ) = f(x j ) pour j = 1, . . ., n − 1,
u h (x 0 ) = d 0 ,
u h (x n ) = d 1 ,
(11.32)
o` u L h est d´ efini par
L h w h (x j ) = −
J j+1/2 (w h ) − J j−1/2 (w h )
h
+ γ j w j ,
(11.33)
pour j = 1, . . ., n − 1. On a pos´ e γ j = γ(x j ) et, pour j = 0, . . . , n − 1, les flux
approch´ es sont donn´ es par
J j+1/2 (w h ) = α j+1/2
w j+1 − w j
h
,
(11.34)
avec α j+1/2 = α(x j+1/2 ).
Le sch´ ema aux diff´ erences finies (11.32)-(11.33) avec les flux approch´ es (11.34)
peut encore ˆ etre mis sous la forme (11.7) en posant
A fd = h
−2 tridiag n−1 (a, d, a) + diag n−1 (c),
(11.35)
o` u
a = −[α 3/2 , α 5/2 , . . . , α n−3/2 ]
T
∈ R
n−2 ,
d = [α 1/2 + α 3/2 , . . . , α n−3/2 + α n−1/2 ]
T
∈ R
n−1 ,
c = [γ 1 , . . . , γ n−1 ]
T
∈ R
n−1 .