11.2 Approximation par diff´ erences finies
429
o` u e
k
∈ V
0
h satisfait e
k (x j ) = δ kj , 1 ≤ j ≤ n − 1. On v´ erifie facilement que
G
k (x j ) = hG(x j , x k ), o` u G est la fonction de Green introduite en (11.4) (voir
Exercice 6). Pour toute fonction discr` ete g ∈ V
0
h , on peut d´ efinir la fonction
discr` ete
w h = T h g,
w h =
n−1
k=1
g(x k )G
k .
(11.26)
Alors
L h w h =
n−1
k=1
g(x k )L h G
k =
n−1
k=1
g(x k )e
k = g.
En particulier, la solution u h de (11.10) satisfait u h = T h f, donc
u h =
n−1
k=1
f(x k )G
k
et u h (x j ) = h
n−1
k=1
G(x j , x k )f(x k ).
(11.27)
Th´ eor` eme 11.1 Si f ∈ C
2 ([0, 1]), alors l’erreur nodale e(x j ) = u(x j ) −
u h (x j ) v´ erifie
− u h h,∞ ≤
h
2
96
∞ ,
(11.28)
i.e. u h converge vers u (dans la norme discr` ete du maximum) `
a l’ordre 2 en h.
D´ emonstration. On commence par remarquer qu’avec la formule de repr´ esentation (11.27), on a l’analogue discret de (11.5) :
≤
1
8
h,∞.
(11.29)
En effet, on a
|uh(xj)| ≤ h
n−1
k=1
G(xj, xk)|f (xk)| ≤ ≤f h,∞
h
n−1
k=1
G(xj, xk)
= f h,∞
1
2
xj(1 − xj) ≤
1
8
h,∞,
puisque, si g = 1, alors Thg v´ erifie Thg(xj ) =
1
2 xj(1 − xj) (voir Exercice 7).
L’in´ egalit´ e (11.29) donne un r´ esultat de stabilit´ e dans la norme discr` ete du maximum pour la solution uh. Avec (11.23), on obtient, en utilisant le mˆ eme argument
que pour (11.29),
≤
1
8
Avec (11.21), l’assertion (11.28) en d´ ecoule.
3
Remarquer que pour ´ etablir le r´ esultat de convergence (11.28), on a utilis´ e ` a
la fois la stabilit´ e et la consistance. De plus, l’erreur de discr´ etisation est du
mˆ eme ordre (par rapport ` a h) que l’erreur de consistance τ h .