11.3 M´ ethode de Galerkin
431
La matrice (11.35) est sym´ etrique d´ efinie positive et `
a diagonale strictement
dominante si γ > 0.
On peut analyser la convergence du sch´ ema (11.32)-(11.33) en adaptant
directement les techniques des Sections 11.2.1 et 11.2.2.
Pour finir, on propose de consid´ erer des conditions aux limites plus g´ en´ erales
que celles vues en (11.30) :
u(0) = d 0 , J(u)(1) = g 1 ,
o` u d 0 et g 1 sont donn´ es. La condition aux limites en x = 1 est appel´ ee condition
aux limites de Neumann. Celle en x = 0 est appel´ ee condition aux limites de
Dirichlet. La discr´ etisation de la condition aux limites de Neumann peut ˆ etre
effectu´ ee en utilisant la technique du miroir. Pour toute fonction ψ assez
r´ eguli` ere, des d´ eveloppements de Taylor en x n donnent :
ψ n =
ψ n−1/2 + ψ n+1/2
2
−
h
2
16
(ψ
(η n ) + ψ
(ξ n )),
pour η n ∈]x n−1/2 , x n [, ξ n ∈]x n , x n+1/2 [. En prenant ψ = J(u) et en n´ egligeant
les termes contenant des h
2 , on obtient
J n+1/2 (u h ) = 2g 1 − J n−1/2 (u h ).
(11.36)
Remarquer que le point x n+1/2 = x n +h/2 n’existe pas r´ eellement ; on l’appelle
point “fantˆ ome”. Le flux correspondant J n+1/2 est obtenu par extrapolation
lin´ eaire du flux aux noeuds x n−1/2 et x n . L’´ equation aux diff´ erences finies
(11.33) au noeud x n s’´ ecrit
J n−1/2 (u h ) − J n+1/2 (u h )
h
+ γ n u n = f n .
En utilisant (11.36) pour d´ efinir J n+1/2 (u h ), on obtient finalement l’approximation d’ordre 2 suivante :
−α n−1/2
u n−1
h 2 +
α n−1/2
h 2 +
γ n
2
u n =
g 1
h
+
f n
2
.
Cette formule sugg` ere une modification simple des coefficients de la matrice
et du second membre du syst` eme (11.7).
D’autres conditions aux limites peuvent ˆ etre envisag´ ees et discr´ etis´ ees par
diff´ erences finies. On renvoie ` a l’Exercice 10 pour des conditions de la forme
λu + µu
= g aux deux extr´ emit´ es de ]0, 1[ (conditions aux limites de Robin).
Pour une pr´ esentation et une analyse compl` ete de l’approximation par
diff´ erences finies de probl` emes aux limites 1D, voir p.ex. [Str89] et [HGR96].
11.3 M´ ethode de Galerkin
On consid` ere ` a pr´ esent l’approximation de Galerkin du probl` eme (11.1)-(11.2).
Celle-ci est ` a la base des m´ ethodes d’´ el´ ements finis et des m´ ethodes spectrales
431
La matrice (11.35) est sym´ etrique d´ efinie positive et `
a diagonale strictement
dominante si γ > 0.
On peut analyser la convergence du sch´ ema (11.32)-(11.33) en adaptant
directement les techniques des Sections 11.2.1 et 11.2.2.
Pour finir, on propose de consid´ erer des conditions aux limites plus g´ en´ erales
que celles vues en (11.30) :
u(0) = d 0 , J(u)(1) = g 1 ,
o` u d 0 et g 1 sont donn´ es. La condition aux limites en x = 1 est appel´ ee condition
aux limites de Neumann. Celle en x = 0 est appel´ ee condition aux limites de
Dirichlet. La discr´ etisation de la condition aux limites de Neumann peut ˆ etre
effectu´ ee en utilisant la technique du miroir. Pour toute fonction ψ assez
r´ eguli` ere, des d´ eveloppements de Taylor en x n donnent :
ψ n =
ψ n−1/2 + ψ n+1/2
2
−
h
2
16
(ψ
(η n ) + ψ
(ξ n )),
pour η n ∈]x n−1/2 , x n [, ξ n ∈]x n , x n+1/2 [. En prenant ψ = J(u) et en n´ egligeant
les termes contenant des h
2 , on obtient
J n+1/2 (u h ) = 2g 1 − J n−1/2 (u h ).
(11.36)
Remarquer que le point x n+1/2 = x n +h/2 n’existe pas r´ eellement ; on l’appelle
point “fantˆ ome”. Le flux correspondant J n+1/2 est obtenu par extrapolation
lin´ eaire du flux aux noeuds x n−1/2 et x n . L’´ equation aux diff´ erences finies
(11.33) au noeud x n s’´ ecrit
J n−1/2 (u h ) − J n+1/2 (u h )
h
+ γ n u n = f n .
En utilisant (11.36) pour d´ efinir J n+1/2 (u h ), on obtient finalement l’approximation d’ordre 2 suivante :
−α n−1/2
u n−1
h 2 +
α n−1/2
h 2 +
γ n
2
u n =
g 1
h
+
f n
2
.
Cette formule sugg` ere une modification simple des coefficients de la matrice
et du second membre du syst` eme (11.7).
D’autres conditions aux limites peuvent ˆ etre envisag´ ees et discr´ etis´ ees par
diff´ erences finies. On renvoie ` a l’Exercice 10 pour des conditions de la forme
λu + µu
= g aux deux extr´ emit´ es de ]0, 1[ (conditions aux limites de Robin).
Pour une pr´ esentation et une analyse compl` ete de l’approximation par
diff´ erences finies de probl` emes aux limites 1D, voir p.ex. [Str89] et [HGR96].
11.3 M´ ethode de Galerkin
On consid` ere ` a pr´ esent l’approximation de Galerkin du probl` eme (11.1)-(11.2).
Celle-ci est ` a la base des m´ ethodes d’´ el´ ements finis et des m´ ethodes spectrales