11.2 Approximation par diff´ erences finies
427
En appliquant `
a (11.13) l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (1.15) (valide en dimension finie), on obtient
|||u h |||
2
h ≤ ≤f h h u h h ,
o` u f h ∈ V h est la fonction discr` ete telle que f h (x j ) = f(x j ) pour j = 0, . . ., n.
Avec (11.14), on en d´ eduit que
h h ≤
1
2
h h ,
(11.18)
d’o` u on conclut que le probl` eme aux diff´ erences finies (11.6) a une unique
solution (ou, ce qui est ´ equivalent, que l’unique solution correspondant `
a f h =
0 est u h = 0). De plus, (11.18) est un r´ esultat de stabilit´ e : il montre en effet
que la solution du probl` eme aux diff´ erences finies est born´ ee par la donn´ ee
initiale f h .
Pour montrer la convergence, on commence par introduire la notion de
consistance. D’apr` es notre d´ efinition g´ en´ erale (2.13), si f ∈ C
0 ([0, 1]) et si
u ∈ C
2 ([0, 1]) est la solution de (11.1)-(11.2), l’erreur de troncature locale est
la fonction discr` ete τ h d´ efinie par
τ h (x j ) = (L h u)(x j ) − f(x j ),
j = 1, . . . , n − 1.
(11.19)
Avec un d´ eveloppement de Taylor, on en d´ eduit que
τ h (x j ) = (L h u)(x j ) + u
(x j )
= −
h
2
24
(u
(iv) (ξ j ) + u
(iv) (η j ))
(11.20)
avec ξ j ∈]x j−1 , x j [ et η j ∈]x j , x j+1 [. En d´ efinissant la norme discr` ete du maximum par
h h,∞ = max
0≤j≤n
|v h (x j )|,
on d´ eduit de (11.20)
h h,∞ ≤
∞
12
h
2 ,
(11.21)
d` es que f ∈ C
2 ([0, 1]). En particulier, lim
h→0
τ h h,∞ = 0. Le sch´ ema aux diff´ erences finies est donc consistant avec le probl` eme diff´ erentiel (11.1)-(11.2).
Remarque 11.2 Un d´ eveloppement de Taylor de u autour de x j peut aussi
s’´ ecrire
u(x j ± h) = u(x j ) ± hu
(x j ) +
h
2
2
u
(x j ) ±
h
3
6
u
(x j ) + R 4 (x j ± h)
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En appliquant `
a (11.13) l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (1.15) (valide en dimension finie), on obtient
|||u h |||
2
h ≤ ≤f h h u h h ,
o` u f h ∈ V h est la fonction discr` ete telle que f h (x j ) = f(x j ) pour j = 0, . . ., n.
Avec (11.14), on en d´ eduit que
h h ≤
1
2
h h ,
(11.18)
d’o` u on conclut que le probl` eme aux diff´ erences finies (11.6) a une unique
solution (ou, ce qui est ´ equivalent, que l’unique solution correspondant `
a f h =
0 est u h = 0). De plus, (11.18) est un r´ esultat de stabilit´ e : il montre en effet
que la solution du probl` eme aux diff´ erences finies est born´ ee par la donn´ ee
initiale f h .
Pour montrer la convergence, on commence par introduire la notion de
consistance. D’apr` es notre d´ efinition g´ en´ erale (2.13), si f ∈ C
0 ([0, 1]) et si
u ∈ C
2 ([0, 1]) est la solution de (11.1)-(11.2), l’erreur de troncature locale est
la fonction discr` ete τ h d´ efinie par
τ h (x j ) = (L h u)(x j ) − f(x j ),
j = 1, . . . , n − 1.
(11.19)
Avec un d´ eveloppement de Taylor, on en d´ eduit que
τ h (x j ) = (L h u)(x j ) + u
(x j )
= −
h
2
24
(u
(iv) (ξ j ) + u
(iv) (η j ))
(11.20)
avec ξ j ∈]x j−1 , x j [ et η j ∈]x j , x j+1 [. En d´ efinissant la norme discr` ete du maximum par
h h,∞ = max
0≤j≤n
|v h (x j )|,
on d´ eduit de (11.20)
h h,∞ ≤
∞
12
h
2 ,
(11.21)
d` es que f ∈ C
2 ([0, 1]). En particulier, lim
h→0
τ h h,∞ = 0. Le sch´ ema aux diff´ erences finies est donc consistant avec le probl` eme diff´ erentiel (11.1)-(11.2).
Remarque 11.2 Un d´ eveloppement de Taylor de u autour de x j peut aussi
s’´ ecrire
u(x j ± h) = u(x j ) ± hu
(x j ) +
h
2
2
u
(x j ) ±
h
3
6
u
(x j ) + R 4 (x j ± h)