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11 Probl` emes aux limites en dimension un
Alors,
v
2
j = h
2
j−1
k=0
vk+1 − vk
h
2
.
En utilisant l’in´ egalit´ e de Minkowski
m
k=1
pk
2
≤ m
m
k=1
p
2
k
,
(11.15)
valable pour tout entier m ≥ 1 et toute suite {p1, . . . , pm} de r´ eels (voir Exercice 4),
on obtient
n−1
j=1
v
2
j ≤ h
2
n−1
j=1
j
j−1
k=0
vk+1 − vk
h
2
.
Ainsi, pour tout vh ∈ V
0
h , on a
2
h = h
n−1
j=1
v
2
j ≤ h
2
n−1
j=1
jh
n−1
k=0
vk+1 − vk
h
2
= h
2 (n − 1)n
2
|||vh|||
2
h .
On en d´ eduit l’in´ egalit´ e (11.14) puisque h = 1/n.
3
Remarque 11.1 Pour tout v h ∈ V
0
h , la fonction discr` ete v
(1)
h dont les valeurs
sur la grille sont donn´ ees par (v j+1 − v j )/h, j = 0, . . . , n − 1, peut ˆ etre vue
comme la d´ eriv´ ee discr` ete de v h (voir Section 9.10.1). L’in´ egalit´ e (11.14) s’´ ecrit
donc
h h ≤
1
√
2
(1)
h h
∀v h ∈ V
0
h .
C’est l’analogue discret sur [0, 1] de l’in´ egalit´ e suivante, appel´ ee in´ egalit´ e de
Poincar´ e : sur tout intervalle [a, b], il existe une constante C P > 0 telle que
L 2 (]a,b[) ≤ C P v
L 2 (]a,b[)
(11.16)
pour tout v ∈ C
1 ([a, b]) telle que v(a) = v(b) = 0. Dans cette relation,
· · L 2 (]a,b[) est la norme L
2 (]a, b[) d´ efinie par
L 2 (]a,b[) =
b
a
|f(x)|
2 dx
1/2
.
(11.17)
L’in´ egalit´ e (11.14) a une cons´ equence int´ eressante : en multipliant chaque
´ equation de (11.10) par u j et en sommant sur j de 1 ` a n − 1, on obtient
(L h u h , u h ) h = (f, u h ) h .