11.2 Approximation par diff´ erences finies
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D´ emonstration. En partant de la relation
wj+1vj+1 − wjvj = (wj+1 − wj)vj + (vj+1 − vj)wj+1,
on obtient par sommation sur j de 0 ` a n − 1 la relation suivante
n−1
j=0
(wj+1 − wj)vj = wnvn − w0v0 −
n−1
j=0
(vj+1 − vj)wj+1,
pour tout wh, vh ∈ Vh. Cette ´ egalit´ e correspond ` a une int´ egration par parties discr` ete. En int´ egrant deux fois par parties, et en posant pour simplifier les notations
w−1 = v−1 = 0, pour wh, vh ∈ V
0
h , on obtient
(Lhwh, vh)h = −h
−1
n−1
j=0
[(wj+1 − wj) − (wj − wj−1)] vj
= h
−1
n−1
j=0
(wj+1 − wj)(vj+1 − vj).
On d´ eduit de cette relation que (Lhwh, vh)h = (wh, Lhvh)h ; de plus, en prenant
wh = vh, on obtient
(Lhvh, vh)h = h
−1
n−1
j=0
(vj+1 − vj)
2 .
(11.11)
Cette quantit´ e est toujours strictement positive, `
a moins que vj+1 = vj pour j =
0, . . . , n − 1, auquel cas vj = 0 pour j = 0, . . . , n puisque v0 = 0.
3
Pour toute fonction discr` ete v h ∈ V
0
h , on d´ efinit la norme
|||v h ||| h =
⎧
⎨
⎩
h
n−1
j=0
v j+1 − v j
h
2
⎫
⎬
⎭
1/2
.
(11.12)
Ainsi, la relation (11.11) est ´ equivalente `
a
(L h v h , v h ) h = |||v h |||
2
h
pour tout v h ∈ V
0
h .
(11.13)
Lemme 11.2 Pour toute fonction v h ∈ V
0
h , on a
h h ≤
1
√
2
|||v h ||| h .
(11.14)
D´ emonstration. Comme v0 = 0, on a
vj = h
j−1
k=0
vk+1 − vk
h
pour j = 1, . . . , n − 1.