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11 Probl` emes aux limites en dimension un
la solution par diff´ erences finies jouit de la mˆ eme propri´ et´ e de monotonie que
la solution exacte u(x) (autrement dit u est positive d` es que f l’est). Cette
propri´ et´ e est appel´ ee principe du maximum discret.
Afin de r´ ecrire (11.6) `
a l’aide d’op´ erateurs, on introduit V h , un ensemble de
fonctions discr` etes d´ efinies aux points de grille x j pour j = 0, . . ., n. Si v h ∈ V h ,
la valeur v h (x j ) est d´ efinie pour tout j. On utilisera parfois l’abr´ eviation v j
pour v h (x j ). On introduit ´ egalement V
0
h , le sous-ensemble de V h contenant
les fonctions discr` etes s’annulant aux extr´ emit´ es x 0 et x n . Pour une fonction
w h ∈ V h , on d´ efinit l’op´ erateur L h par
(L h w h )(x j ) = −
w j+1 − 2w j + w j−1
h 2
pour j = 1, . . ., n − 1.
(11.9)
Le probl` eme aux diff´ erences finies (11.6) peut alors s’´ ecrire de mani` ere ´ equivalente : trouver u h ∈ V
0
h tel que
(L h u h )(x j ) = f(x j )
pou rj = 1, . . ., n − 1.
(11.10)
Remarquer que, dans cette formulation, les conditions aux limites sont prises
en compte en cherchant u h dans V
0
h .
La m´ ethode des diff´ erences finies peut aussi servir ` a approcher des op´ erateurs diff´ erentiels d’ordre plus ´ elev´ e que celui consid´ er´ e dans cette section.
Mais, comme pour le cas pr´ esent´ e ici, une attention particuli` ere doit ˆ etre prˆ et´ ee aux conditions aux limites.
11.2.1 Analyse de stabilit´ e par la m´ ethode de l’´ energie
Pour deux fonctions discr` etes w h , v h ∈ V h , on d´ efinit le produit scalaire discret
(w h , v h ) h = h
n
k=0
c k w k v k ,
avec c 0 = c n = 1/2 et c k = 1 pour k = 1, . . . , n − 1. Cette d´ efinition provient
de l’´ evaluation de (w, v) =
1
0
w(x)v(x)dx par la formule composite du trap` eze
(8.13). On d´ efinit alors la norme suivante sur V h :
h h = (v h , v h )
1/2
h .
Lemme 11.1 L’op´ erateur L h est sym´ etrique, i.e.
(L h w h , v h ) h = (w h , L h v h ) h
∀ w h , v h ∈ V
0
h ,
et d´ efini positif, i.e.
(L h v h , v h ) h ≥ 0
∀v h ∈ V
0
h ,
avec ´ egalit´ e seulement si v h = 0.
11 Probl` emes aux limites en dimension un
la solution par diff´ erences finies jouit de la mˆ eme propri´ et´ e de monotonie que
la solution exacte u(x) (autrement dit u est positive d` es que f l’est). Cette
propri´ et´ e est appel´ ee principe du maximum discret.
Afin de r´ ecrire (11.6) `
a l’aide d’op´ erateurs, on introduit V h , un ensemble de
fonctions discr` etes d´ efinies aux points de grille x j pour j = 0, . . ., n. Si v h ∈ V h ,
la valeur v h (x j ) est d´ efinie pour tout j. On utilisera parfois l’abr´ eviation v j
pour v h (x j ). On introduit ´ egalement V
0
h , le sous-ensemble de V h contenant
les fonctions discr` etes s’annulant aux extr´ emit´ es x 0 et x n . Pour une fonction
w h ∈ V h , on d´ efinit l’op´ erateur L h par
(L h w h )(x j ) = −
w j+1 − 2w j + w j−1
h 2
pour j = 1, . . ., n − 1.
(11.9)
Le probl` eme aux diff´ erences finies (11.6) peut alors s’´ ecrire de mani` ere ´ equivalente : trouver u h ∈ V
0
h tel que
(L h u h )(x j ) = f(x j )
pou rj = 1, . . ., n − 1.
(11.10)
Remarquer que, dans cette formulation, les conditions aux limites sont prises
en compte en cherchant u h dans V
0
h .
La m´ ethode des diff´ erences finies peut aussi servir ` a approcher des op´ erateurs diff´ erentiels d’ordre plus ´ elev´ e que celui consid´ er´ e dans cette section.
Mais, comme pour le cas pr´ esent´ e ici, une attention particuli` ere doit ˆ etre prˆ et´ ee aux conditions aux limites.
11.2.1 Analyse de stabilit´ e par la m´ ethode de l’´ energie
Pour deux fonctions discr` etes w h , v h ∈ V h , on d´ efinit le produit scalaire discret
(w h , v h ) h = h
n
k=0
c k w k v k ,
avec c 0 = c n = 1/2 et c k = 1 pour k = 1, . . . , n − 1. Cette d´ efinition provient
de l’´ evaluation de (w, v) =
1
0
w(x)v(x)dx par la formule composite du trap` eze
(8.13). On d´ efinit alors la norme suivante sur V h :
h h = (v h , v h )
1/2
h .
Lemme 11.1 L’op´ erateur L h est sym´ etrique, i.e.
(L h w h , v h ) h = (w h , L h v h ) h
∀ w h , v h ∈ V
0
h ,
et d´ efini positif, i.e.
(L h v h , v h ) h ≥ 0
∀v h ∈ V
0
h ,
avec ´ egalit´ e seulement si v h = 0.