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11 Probl` emes aux limites en dimension un
forme suivante :
u(x) = x
1
0
(1 − s)f(s) ds −
x
0
(x − s)f(s) ds,
ou, de fa¸ con plus compacte,
u(x) =
1
0
G(x, s)f(s) ds,
(11.3)
o` u on d´ efinit
G(x, s) =
s(1 − x) si 0 ≤ s ≤ x,
x(1 − s) si x ≤ s ≤ 1.
(11.4)
La fonction G est appel´ ee fonction de Green pour le probl` eme aux limites
(11.1)-(11.2). C’est une fonction de x affine par morceaux `
a s fix´ e, et vice versa.
Elle est continue, sym´ etrique (i.e. G(x, s) = G(s, x) pour tout x, s ∈ [0, 1]),
positive, nulle si x ou s vaut 0 ou 1, et
1
0
G(x, s) ds =
1
2 x(1 − x). La fonction
est trac´ ee sur la Figure 11.1.
On peut donc conclure que pour tout f ∈ C
0 ([0, 1]), il existe une unique
solution u ∈ C
2 ([0, 1]) du probl` eme aux limites (11.1)-(11.2) et qu’elle s’´ ecrit
sous la forme (11.3). On peut d´ eduire de (11.1) des propri´ et´ es de r´ egularit´ e
plus fortes sur u ; en effet, si f ∈ C
m ([0, 1]) pour m ≥ 0 alors u ∈ C
m+2 ([0, 1]).
Noter que si f ∈ C
0 ([0, 1]) est positive, alors u est aussi positive. C’est
une propri´ et´ e dite de monotonie. Elle d´ ecoule directement de (11.3), puisque
G(x, s) ≥ 0 pour tout x, s ∈ [0, 1]. La propri´ et´ e suivante s’appelle principe du
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Fig. 11.1. Fonction de Green pour trois valeurs de x : x = 1/4 (trait plein), x = 1/2
(trait discontinu), x = 3/4 (trait mixte)
11 Probl` emes aux limites en dimension un
forme suivante :
u(x) = x
1
0
(1 − s)f(s) ds −
x
0
(x − s)f(s) ds,
ou, de fa¸ con plus compacte,
u(x) =
1
0
G(x, s)f(s) ds,
(11.3)
o` u on d´ efinit
G(x, s) =
s(1 − x) si 0 ≤ s ≤ x,
x(1 − s) si x ≤ s ≤ 1.
(11.4)
La fonction G est appel´ ee fonction de Green pour le probl` eme aux limites
(11.1)-(11.2). C’est une fonction de x affine par morceaux `
a s fix´ e, et vice versa.
Elle est continue, sym´ etrique (i.e. G(x, s) = G(s, x) pour tout x, s ∈ [0, 1]),
positive, nulle si x ou s vaut 0 ou 1, et
1
0
G(x, s) ds =
1
2 x(1 − x). La fonction
est trac´ ee sur la Figure 11.1.
On peut donc conclure que pour tout f ∈ C
0 ([0, 1]), il existe une unique
solution u ∈ C
2 ([0, 1]) du probl` eme aux limites (11.1)-(11.2) et qu’elle s’´ ecrit
sous la forme (11.3). On peut d´ eduire de (11.1) des propri´ et´ es de r´ egularit´ e
plus fortes sur u ; en effet, si f ∈ C
m ([0, 1]) pour m ≥ 0 alors u ∈ C
m+2 ([0, 1]).
Noter que si f ∈ C
0 ([0, 1]) est positive, alors u est aussi positive. C’est
une propri´ et´ e dite de monotonie. Elle d´ ecoule directement de (11.3), puisque
G(x, s) ≥ 0 pour tout x, s ∈ [0, 1]. La propri´ et´ e suivante s’appelle principe du
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Fig. 11.1. Fonction de Green pour trois valeurs de x : x = 1/4 (trait plein), x = 1/2
(trait discontinu), x = 3/4 (trait mixte)