11
Probl` emes aux limites en dimension un
Ce chapitre est d´ edi´ e ` a l’analyse des m´ ethodes d’approximation pour les probl` emes aux limites monodimensionnels (1D) de type elliptique. On y pr´ esente
la m´ ethode des diff´ erences finies et la m´ ethode des ´ el´ ements finis. On consid` ere
aussi bri` evement l’extension aux probl` emes elliptiques bidimensionnels (2D).
11.1 Un probl` eme mod` ele
Pour commencer, consid´ erons le probl` eme aux limites 1D suivant :
−u
(x) = f(x), 0 < x < 1,
(11.1)
u(0) = u(1) = 0.
(11.2)
D’apr` es le th´ eor` eme fondamental de l’analyse, si u ∈ C
2 ([0, 1]) et satisfait
l’´ equation diff´ erentielle (11.1) alors
u(x) = c 1 + c 2 x −
x
0
F (s) ds,
o` u c 1 et c 2 sont des constantes et F (s) =
s
0
f(t) dt. En int´ egrant par parties,
on obtient :
x
0
F (s) ds = [sF (s)]
x
0 −
x
0
sF
(s) ds =
x
0
(x − s)f(s) ds.
On peut choisir les constantes c 1 et c 2 pour satisfaire les conditions aux limites.
La condition u(0) = 0 implique c 1 = 0, et u(1) = 0 implique c 2 =
1
0
(1 −
s)f(s) ds. Par cons´ equent, la solution de (11.1)-(11.2) peut s’´ ecrire sous la