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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
11. V´ erifier que la m´ ethode de Heun (10.10) est une m´ ethode de Runge-Kutta `
a
deux pas et ´ ecrire les tableaux de Butcher correspondants. Faire de mˆ eme avec
la m´ ethode d’Euler modifi´ ee, d´ efinie par
un+1 = un + hf (tn +
h
2
, un +
h
2
fn), n ≥ 0.
(10.84)
[Solution :
0 0 0
1 1 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
1
2
0
0 1
]
12. V´ erifier que le tableau de Butcher de la m´ ethode (10.69) est donn´ e par
0 0 0 0 0
1
2
1
2
0 0 0
1
2
0
1
2
0 0
1 0 0 1 0
1
6
1
3
1
3
1
6
13. Ecrire un programme MATLAB qui trace les r´ egions de stabilit´ e absolue d’une
m´ ethode de Runge-Kutta pour laquelle on dispose de la fonction R(hλ). Tester
le code dans le cas particulier o` u
R(hλ) = 1 + hλ + (hλ)
2 /2 + (hλ)
3 /6 + (hλ)
4 /24 + (hλ)
5 /120 + (hλ)
6 /600
et v´ erifier que cette r´ egion n’est pas connexe.
14. D´ eterminer la fonction R(hλ) associ´ ee ` a la m´ ethode de Merson dont le tableau
de Butcher est donn´ e par
0 0 0
0
0 0
1
3
1
3
0
0
0 0
1
3
1
6
1
6
0
0 0
1
2
1
8
0
3
8
0 0
1
1
2
0 −
3
2
2 0
1
6
0
0
2
3
1
6
[Solution : R(hλ) = 1 +
4
i=1 (hλ)
i /i! + (hλ)
5 /144.]